Determine a solução geral das edos de variáveis separáveis:
d ud v=1+u^21+v^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
dudv = 1+u^21+v^2
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de funções racionais que levam a arctangente.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
du1+u^2 ;=;dv1+v^2

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral du1+u^2 = integral dv1+v^2 Longrightarrow arctan(u) = arctan(v) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Para isolar u, aplicamos a função tan em ambos os lados:
u = tanl(arctan(v) + Cr)

Passo 5

Usando a identidade de soma de arctangentes
tan(A+B) = tan A + tan B1 - tan A,tan B,
e definindo K = tan(C), obtemos a forma explícita
u(v) = v + K1 - K,v,
com K constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
arctan(u) - arctan(v) = C
ou, de forma explícita,
u(v) = v + K1 - K,v,
onde C e K=tan(C) são constantes arbitrárias.

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