Determine a solução geral das edos:
d sd t+s tg t=2 t+t^2 tg t

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
dsdt+s,tan t=2t+t^2tan t
que está no formato
dsdt+P(t),s=Q(t),
com P(t)=tan t e Q(t)=2t+t^2tan t. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Cálculo do fator integrante:
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integraltan t,dtr)=exp(-ln|cos t|)=1cos t=sec t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e obtemos
sec tdsdt+sec ttan t,s=(2t+t^2tan t)sec t
O lado esquerdo é a derivada de smu(t), pois
ddt(ssec t)=sec tdsdt+ssec ttan t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
ddt(ssec t)=2tsec t+t^2sec ttan t
Logo
ssec t=integrall(2tsec t+t^2sec ttan tr),dt + C

Passo 5

Para calcular a integral fazemos partes em
integral t^2sec ttan t,dt
com u=t^2 e dv=sec ttan t,dt. Assim
integral t^2sec ttan t,dt=t^2sec t-2integral tsec t,dt
e portanto as duas parcelas se combinam de modo que
integrall(2tsec t+t^2sec ttan tr),dt=t^2sec t
Logo
ssec t=t^2sec t + C

Passo 6

Multiplicando por cos t obtemos a solução geral:
s(t)=t^2+Ccos t

Resposta

s(t)=t^2+Ccos t

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