Mostre que o campo F=(3 x^2+2 y, 2 x+4 y^3) é conservativo e calcule o trabalho realizado ao longo do caminho de A(0,0) até B(2,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F=(P,Q) com
P(x,y)=3x^2+2y, Q(x,y)=2x+4y^3,
pede para mostrar que F é conservativo (isto é, existe potencial escalar f tal que nabla f=F) e então calcular o trabalho
W=integralgammaFcdot dr
ao longo de qualquer caminho gamma de A(0,0) a B(2,1). Para isso, vamos usar o critério partial P/partial y=partial Q/partial x num domínio simplesmente conectado, achar uma função potencial f e avaliar f(2,1)-f(0,0).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial y(3x^2+2y)=2, partial Qpartial x =partialpartial x(2x+4y^3)=2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio R^2 é simplesmente conectado, F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y)=3x^2+2y
Integramos em x:
f(x,y)=integral(3x^2+2y),dx =x^3+2yx+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo partial f/partial y=Q(x,y)=2x+4y^3, temos
partial fpartial y =partialpartial y(x^3+2yx+g(y)) =2x+g'(y) stackrel!=2x+4y^3
Logo g'(y)=4y^3, o que dá
g(y)=integral4y^3,dy=y^4+C

Passo 5

Escolhendo a constante C=0, uma potencial é
f(x,y)=x^3+2xy+y^4
O trabalho de A a B é
W=f(2,1)-f(0,0) =(2^3+2cdot2cdot1+1^4)-0 =8+4+1 =13

Resposta

O campo é conservativo e o trabalho de A(0,0) até B(2,1) vale 13.

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