Mostre que o campo
é conservativo e calcule o trabalho realizado ao longo do caminho de
até
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
pede para mostrar que
é conservativo (isto é, existe potencial escalar
tal que
) e então calcular o trabalho
ao longo de qualquer caminho
de
a
. Para isso, vamos usar o critério
num domínio simplesmente conectado, achar uma função potencial
e avaliar
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
e o domínio
é simplesmente conectado,
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
Logo
, o que dá
Passo 5
Escolhendo a constante
, uma potencial é
O trabalho de
a
é
Resposta
O campo é conservativo e o trabalho de
até
vale
.