Determine a solução geral das edos Homogêneas:
3(5 x+3 y)+(11 x+5 y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3(5x+3y)+(11x+5y)dydx=0
que é uma equação de primeira ordem, cujos termos são homogêneos de grau 1 em (x,y). Para resolver, vamos usar a substituição
y = u,x,
de modo que
dydx = u + xdudx

Passo 2

Substituindo y=ux e tfracdydx=u+x,du/dx na equação original, obtemos
3l(5x+3(ux)r)+(11x+5(ux))l(u+xdudxr)=0
Fatorando xneq0, isso vira
15+9u + (11+5u)l(u + xdudxr)=0

Passo 3

Expandindo e isolando x,du/dx, temos
15 + 9u +11u +5u^2 + (11+5u),xdudx=0 Longrightarrow (11+5u),xdudx = -l(5u^2+20u+15r)
Logo
dudx = -5(u^2+4u+3)(5u+11),x = -5(u+1)(u+3)(5u+11),x
Separamos variáveis:
5u+11(u+1)(u+3),du = -5,dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral5u+11(u+1)(u+3),du = integrall(3u+1+2u+3r),du = 3ln|u+1|+2ln|u+3|,
integral -5,dxx = -5ln|x| + C
Portanto
3ln|u+1|+2ln|u+3| = -5ln|x| + C,
lnl((u+1)^3(u+3)^2r) = lnl(x^-5r) + C Longrightarrow (u+1)^3(u+3)^2 = K,x^-5,
onde K=e^C.

Passo 5

Voltando a u=y/x, temos
u+1 = yx+1 = y+xx, u+3 = y+3xx
Assim
l(tfracy+xxr)^3 l(tfracy+3xxr)^2 = K,x^-5 ;Longrightarrow; (y+x)^3,(y+3x)^2x^5 = K,x^-5 ;Longrightarrow; (y+x)^3,(y+3x)^2 = K

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
boxed(y + x)^3,(y + 3x)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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