Determine a solução geral das EDOs:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Determine a solução geral da EDO
y'' + 3y' + 2y = 0,
Isso é uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2ª ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma EDO homogênea de 2ª ordem.
  • Saber usar a equação característica (suposição y=e^rx) para encontrar as raízes r.
  • Montar a solução geral a partir dessas raízes.

Passo 2

Primeiro, a teoria: para uma EDO linear homogênea de 2ª ordem e coeficientes constantes
y'' + a,y' + b,y = 0,,
a gente supõe que exista uma solução do tipo
y(x) = e^r x,
Substituindo na EDO, a derivada é
,y' = r e^r x e ,y'' = r^2 e^r x,
então
r^2 e^r x + a,r e^r x + b,e^r x = 0 Longrightarrow r^2 + a,r + b = 0
Essa última é a equação característica.
No nosso caso, a=3 e b=2, então a equação característica fica
r^2 + 3r + 2 = 0,

Passo 3

Agora resolvemos
r^2 + 3r + 2 = 0,
Podemos fatorar assim:
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0
Logo as raízes são
r1 = -1, r2 = -2

Passo 4

Quando as duas raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,,
onde C1 e C2 são constantes que aparecem por ser uma EDO de ordem 2.

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x,

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