Determine a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Determine a solução geral da EDO
Isso é uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2ª ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma EDO homogênea de 2ª ordem.
- Saber usar a equação característica (suposição
) para encontrar as raízes . - Montar a solução geral a partir dessas raízes.
Passo 2
Primeiro, a teoria: para uma EDO linear homogênea de 2ª ordem e coeficientes constantes
a gente supõe que exista uma solução do tipo
Substituindo na EDO, a derivada é
e
,
então
então
Essa última é a equação característica.
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica
Passo 3
Agora resolvemos
Podemos fatorar assim:
Logo as raízes são
Passo 4
Quando as duas raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear:
onde
e
são constantes que aparecem por ser uma EDO de ordem 2.