Resolva as equações diferenciais:
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente precisa resolver a equação
2xy - sin x ;+;(x^2 + e^y),dydx ;=;0
Conteúdo da matéria: equações diferenciais exatas de primeira ordem. O que vamos precisar?
  • Identificar M(x,y)=2xy-sin x e N(x,y)=x^2+e^y.
  • Verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.
  • Se for exata, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
    Psix=M e Psiy=N.
  • A solução geral fica Psi(x,y)=C.

Passo 2

Checando exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy - sin x) = 2x, partial Npartial x = partialpartial x(x^2 + e^y) = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata. Isso garante que existe Psi(x,y) com
dPsi = M,dx + N,dy = 0

Passo 3

Vamos achar Psi integrando M em relação a x (tratando y como constante):
Psi(x,y) = integrall(2xy - sin xr),dx = 2yintegral x,dx ;-; integral sin x,dx = yx^2 + cos x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para descobrir h(y), a gente impõe Psiy = N:
partialPsipartial y = partialpartial yl(yx^2 + cos x + h(y)r) = x^2 + h'(y) = x^2 + e^y
Logo
h'(y) = e^y Longrightarrow h(y) = integral e^y,dy = e^y

Resposta

A solução implícita geral da equação diferencial é
boxedx^2y + cos x + e^y = C,
onde C é a constante de integração.

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