Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
t y^prime+(t+1) y=t ; t>0 ; y(ln (2))=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
t,y'(t)+(t+1),y(t)=t, t>0,
encontrando a solução geral e, usando a condição inicial y(ln 2)=1, a solução particular. O método a usar é o de equação linear de primeira ordem com fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão
y'(t)+p(t),y(t)=g(t),
dividindo tudo por t (que é positivo):
y'(t)+t+1t,y(t)=1
Aqui p(t)=1+1t e g(t)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integrall(1+1tr)dtr) =e^t,t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t) e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de mu(t),y(t):
ddtl(e^t,t,y(t)r) =e^t,tcdot1 Longrightarrow e^t,t,y(t)=integral t,e^t,dt + C
Fazendo a integral por partes,
integral t,e^t,dt =t,e^t - integral e^t,dt =t,e^t - e^t,
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e^t,t,y(t)=t,e^t - e^t + C

Passo 5

Isolamos y(t):
y(t) =t,e^t - e^t + Ct,e^t =t-1t+Ct,e^t
Esta é a solução geral, com constante arbitrária C.

Passo 6

Para achar a solução particular, aplicamos y(ln2)=1. Seja t0=ln2. Então
1=y(t0) =t0-1t0+Ct0,e^t0 =ln2-1ln2+C(ln2),2
Reorganizando,
1-ln2-1ln2 =C2,ln2 Longrightarrow 1ln2 =C2,ln2 Longrightarrow C=2

Resposta

Solução geral:
y(t)=t-1t+Ct,e^t
Solução particular com y(ln2)=1:
y(t)=1-1t+2t,e^t

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