Estude o sinal das expressões.
x-2(x+1)(x-2)

Passo 1

O enunciado quer que a gente estude o sinal da expressão
f(x)=x-2(x+1)(x-2)
O conteúdo é estudo de sinal de função racional. Para isso vamos precisar identificar o domínio, os zeros do numerador, as raízes do denominador e depois montar os intervalos críticos para ver onde a expressão é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de f. O denominador (x+1)(x-2) se anula em x=-1 e x=2, logo
Domínio=Rsetminus-1,2 í
O numerador x-2 se anula em x=2, mas aí f também não está definida, então não há ponto em que f(x)=0 dentro do domínio.

Passo 3

Note que, para xneq2, a fator x-2 cancelaria na fração, de modo que
x-2(x+1)(x-2)=1x+1
Isto mostra que, sempre que a expressão existir, seu sinal coincide com o de tfrac1x+1.

Passo 4

Para estudar o sinal de tfrac1x+1, identificamos o ponto crítico x=-1. Dividimos a reta real em dois intervalos:
  • Em x<-1, temos x+1<0, então tfrac1x+1<0.
  • Em x>-1, temos x+1>0, então tfrac1x+1>0.
Como f(x) tem o mesmo sinal de tfrac1x+1 (exceto em x=2, onde há removação), concluímos o seguinte.

Passo 5

No intervalo (-infty,-1), f(x)<0.
Em (-1,2) e em (2,infty), f(x)>0.
Em x=-1 e em x=2, f não está definida.

Resposta

Para f(x)=x-2(x+1)(x-2):
f(x)<0se x< -1,
f(x)>0se -1< x<2 ou x>2,
e f é indefinida em x=-1 e em x=2.

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