Resolva:
\int \frac{\operatorname{sen}^{3} x}{\sqrt[3]{\cos ^{4} x}} dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen}^{3} x}{\sqrt[3]{\cos^{4} x}}\,dx.
Informações dadas e o que se quer: a função a integrar é \dfrac{\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt[3]{\cos^{4}x}}. O objetivo é encontrar uma primitiva desta função (ou seja, uma expressão cujo derivada é a integranda), adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Vamos reescrever a integranda de forma mais manejável usando propriedades de potências e uma identidade trigonométrica básica. Primeiro note que a raiz cúbica de \cos^{4}x é simplesmente uma potência:
\sqrt[3]{\cos^{4}x} = (\cos^{4}x)^{1/3} = \cos^{4/3}x.
Também escrevemos \operatorname{sen}^{3}x como \operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen}x e usamos a identidade pitagórica
\operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos^{2}x.
Substituindo essas formas dentro da integral obtemos
\int \frac{\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt[3]{\cos^{4}x}}\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen}x}{\cos^{4/3}x}\,dx = \int \frac{(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen}x}{\cos^{4/3}x}\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a substituição u=\cos x. Essa escolha é natural porque du = -\operatorname{sen}x\,dx, então o fator \operatorname{sen}x\,dx que temos na integral se transforma diretamente em -du. Escrevendo explicitamente:
u=\cos x,\qquad du = -\operatorname{sen}x\,dx \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}x\,dx = -du.
Substituindo na integral (e também substituindo \cos x por u) ficamos com
\int \frac{(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen}x}{\cos^{4/3}x}\,dx = \int \frac{(1-u^{2})(-du)}{u^{4/3}} = -\int (1-u^{2})u^{-4/3}\,du.

Passo 4

Distribuímos a potência e simplificamos os expoentes:
(1-u^{2})u^{-4/3} = u^{-4/3} - u^{2}u^{-4/3} = u^{-4/3} - u^{2/3}.
Portanto a integral em u é
-\int \bigl(u^{-4/3} - u^{2/3}\bigr)\,du = -\int u^{-4/3}\,du + \int u^{2/3}\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando a regra a cada termo:
Para n=-\tfrac{4}{3} temos n+1=-\tfrac{1}{3}, então
\int u^{-4/3}\,du = \frac{u^{-1/3}}{-1/3} = -3\,u^{-1/3}.
Para n=\tfrac{2}{3} temos n+1=\tfrac{5}{3}, então
\int u^{2/3}\,du = \frac{u^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}\,u^{5/3}.

Passo 6

Voltando aos sinais da expressão do Passo 4:
-\int u^{-4/3}\,du + \int u^{2/3}\,du = -\bigl(-3\,u^{-1/3}\bigr) + \frac{3}{5}\,u^{5/3} = 3\,u^{-1/3} + \frac{3}{5}\,u^{5/3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora substituímos u=\cos x de volta para escrever a primitiva em função de x. Obtém-se
3\,\cos^{-1/3}x + \frac{3}{5}\,\cos^{5/3}x + C.
Observação sobre sinais e potências fracionárias: escrever \cos^{-1/3}x significa 1/\bigl(\cos^{1/3}x\bigr); como estamos usando raízes cúbicas, a raiz cúbica de números negativos é bem definida no conjunto dos reais, então a expressão faz sentido para todos os x (lembrando que na manipulação usamos a igualdade algébrica \sqrt[3]{\cos^{4}x}=\cos^{4/3}x, já que \cos^{4}x\ge0 antes da raiz).

Resposta

3\,\cos^{-1/3}x + \frac{3}{5}\,\cos^{5/3}x + C

Exercícios relacionados