Resolva:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se quer: a função a integrar é
. O objetivo é encontrar uma primitiva desta função (ou seja, uma expressão cujo derivada é a integranda), adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Vamos reescrever a integranda de forma mais manejável usando propriedades de potências e uma identidade trigonométrica básica. Primeiro note que a raiz cúbica de
é simplesmente uma potência:
Também escrevemos
como
e usamos a identidade pitagórica
Substituindo essas formas dentro da integral obtemos
Passo 3
Agora aplicamos a substituição
. Essa escolha é natural porque
, então o fator
que temos na integral se transforma diretamente em
. Escrevendo explicitamente:
Substituindo na integral (e também substituindo
por
) ficamos com
Passo 4
Distribuímos a potência e simplificamos os expoentes:
Portanto a integral em
é
Passo 5
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando a regra a cada termo:
Para
temos
, então
Para
temos
, então
Passo 6
Voltando aos sinais da expressão do Passo 4:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora substituímos
de volta para escrever a primitiva em função de
. Obtém-se
Observação sobre sinais e potências fracionárias: escrever
significa
; como estamos usando raízes cúbicas, a raiz cúbica de números negativos é bem definida no conjunto dos reais, então a expressão faz sentido para todos os
(lembrando que na manipulação usamos a igualdade algébrica
, já que
antes da raiz).