Resolva:
\int x^{2} \ln x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln x\,dx.
Informações dadas e o que se espera:
  • A função a integrar é \,x^{2}\ln x\,.
  • Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então a resposta deve ser uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\ln x, mais a constante de integração C.
  • Observação sobre domínio: a função \ln x está definida para x>0, portanto a primitiva que encontrarmos é válida para x>0.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a fórmula de integração por partes. Não vou adivinhar nada, só faço uma aula rápida sobre a fórmula:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u e v são funções de x (escolhidas pelo resolutor),
  • du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx (ou seja, du = u'(x)\,dx),
  • v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).
Explicando a ideia: escolhe-se u de modo que sua derivada du fique “mais simples” e escolhe-se dv de modo que seja fácil obter v (integrar dv). Uma heurística comum é preferir u sendo um logaritmo quando ele aparece (porque derivar \ln x simplifica). Aqui temos um produto de x^{2} com \ln x, então faz sentido aplicar partes com u=\ln x.

Passo 3

Escolha concreta de u e dv:
u = \ln x,\qquad dv = x^{2}\,dx.
Agora calculamos du e v:
  • Derivando u:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv para obter v:
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Agora temos todas as peças para aplicar a fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando interno:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3}.
Portanto
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral restante:
\int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Substituindo de volta:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (cheque de segurança): derivando a primitiva encontrada
F(x)=\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9},
usando a regra do produto para o primeiro termo:
F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'\ln x + \frac{x^{3}}{3}\cdot\left(\ln x\right)' - \left(\frac{x^{3}}{9}\right)'.
Calculando cada derivada:
\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'=x^{2},\qquad \left(\ln x\right)'=\frac{1}{x},\qquad \left(\frac{x^{3}}{9}\right)'=\frac{x^{2}}{3}.
Substituindo:
F'(x)=x^{2}\ln x + \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln x + \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln x,
que coincide com o integrando. Tudo certo!

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

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