Resolva:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se espera:
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então a resposta deve ser uma função
tal que , mais a constante de integração . - Observação sobre domínio: a função
está definida para , portanto a primitiva que encontrarmos é válida para .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a fórmula de integração por partes. Não vou adivinhar nada, só faço uma aula rápida sobre a fórmula:
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
e são funções de (escolhidas pelo resolutor), -
é a derivada de em relação a multiplicada por (ou seja, ), -
é uma primitiva de (ou seja, ).
Explicando a ideia: escolhe-se
de modo que sua derivada
fique “mais simples” e escolhe-se
de modo que seja fácil obter
(integrar
). Uma heurística comum é preferir
sendo um logaritmo quando ele aparece (porque derivar
simplifica). Aqui temos um produto de
com
, então faz sentido aplicar partes com
.
Passo 3
Escolha concreta de
e
:
Agora calculamos
e
:
- Derivando
:
- Integrando
para obter :
Agora temos todas as peças para aplicar a fórmula.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando interno:
Portanto
Passo 5
Calcule a integral restante:
Substituindo de volta:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (cheque de segurança): derivando a primitiva encontrada
usando a regra do produto para o primeiro termo:
Calculando cada derivada:
Substituindo:
que coincide com o integrando. Tudo certo!