Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
n x d yd x+2 y=x y^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim:
n x dydx + 2 y = x y^n+1
Primeiro, vamos entender que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
dydx + P(x) y = Q(x) y^k
Então, para resolver essa equação, vamos precisar transformar ela para essa forma padrão e depois aplicar um método específico para resolver equações de Bernoulli.

Passo 2

Vamos começar dividindo todos os termos da equação original por n x para isolar dydx:
dydx + 2n x y = 1n y^n+1
Agora, a equação está na forma:
dydx + P(x) y = Q(x) y^k
onde:
  • P(x) = 2n x
  • Q(x) = 1n
  • k = n + 1

Passo 3

O próximo passo é aplicar a substituição típica para equações de Bernoulli. Vamos definir uma nova variável z igual a y^-n:
z = y^-n
Agora, precisamos encontrar a derivada de z em relação a x:
dzdx = -n y^-(n+1) dydx

Passo 4

Vamos substituir dydx da equação original nessa expressão da derivada de z:
dzdx = -n y^-(n+1) ( 1n y^n+1 - 2n x y )
Simplificando:
dzdx = - (1 - 2x y^-n )
Mas como z = y^-n, podemos substituir y^-n por z:
dzdx = -1 + 2x z
Rearranjando:
dzdx - 2x z = -1

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de z:
dzdx + P(x) z = Q(x)
onde:
  • P(x) = -2x
  • Q(x) = -1
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) = x^-2:
x^-2 dzdx - 2x^3 z = -x^-2
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada do produto:
ddx(x^-2 z) = -x^-2

Passo 7

Integrando ambos os lados da equação:
integral ddx(x^-2 z) dx = integral -x^-2 dx
O lado esquerdo simplifica para x^-2 z, e o lado direito integra para x^-1 + C, onde C é a constante de integração:
x^-2 z = x^-1 + C

Passo 8

Resolvendo para z:
z = x^-1 cdot x^2 + C x^2 = x + C x^2
Lembrando que z = y^-n, substituímos de volta:
y^-n = x + C x^2

Passo 9

Finalmente, resolvendo para y:
y = ( x + C x^2 )^-1n

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( x + C x^2 )^-1n

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