Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim:
Primeiro, vamos entender que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
Então, para resolver essa equação, vamos precisar transformar ela para essa forma padrão e depois aplicar um método específico para resolver equações de Bernoulli.
Passo 2
Vamos começar dividindo todos os termos da equação original por
para isolar
:
Agora, a equação está na forma:
onde:
Passo 3
O próximo passo é aplicar a substituição típica para equações de Bernoulli. Vamos definir uma nova variável
igual a
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original nessa expressão da derivada de
:
Simplificando:
Mas como
, podemos substituir
por
:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de
:
onde:
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante
que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada do produto:
Passo 7
Integrando ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito integra para
, onde
é a constante de integração:
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: