Determine a solução geral das edos lineares:
x d yd x+y=(1+x) e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver uma equação diferencial linear que é assim: x dydx + y = (1+x) e^x . A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a solução geral de uma EDO linear usando métodos como fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Queremos colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear: dydx + P(x)y = Q(x) . Para isso, dividimos os dois lados por x :
dydx + 1x y = ( 1+xx ) e^x

Passo 3

Agora, identificamos P(x) = 1x e Q(x) = ( 1+xx ) e^x . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante mu(x) = x :
x cdot dydx + x cdot 1x y = x cdot ( 1+xx ) e^x
Simplificando:
x dydx + y = (1+x) e^x
Viu? Volta pra original, mas agora sabemos que o lado esquerdo pode ser escrito como a derivada do produto mu(x)y :
ddx(x y) = (1+x) e^x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx(x y) dx = integral (1+x) e^x dx
O lado esquerdo simplesmente vira x y . Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes.

Passo 6

Para a integral integral (1+x) e^x dx , vamos separar:
integral e^x dx + integral x e^x dx
A primeira parte é fácil: integral e^x dx = e^x .
Para a segunda parte integral x e^x dx , usamos integração por partes:
Seja u = x e dv = e^x dx , então du = dx e v = e^x .
Aplicando:
x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Então, juntando tudo:
integral (1+x) e^x dx = e^x + x e^x - e^x + C = x e^x + C

Passo 7

Voltando à equação integrada:
x y = x e^x + C
Agora, resolvemos para y :
y = x e^x + Cx = e^x + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^x + Cx

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