Determine a solução geral das edos lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver uma equação diferencial linear que é assim:
. A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a solução geral de uma EDO linear usando métodos como fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Queremos colocar a equação no formato padrão de uma EDO linear:
. Para isso, dividimos os dois lados por
:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela fator integrante
:
Simplificando:
Viu? Volta pra original, mas agora sabemos que o lado esquerdo pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplesmente vira
. Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes.
Passo 6
Para a integral
, vamos separar:
A primeira parte é fácil:
.
Para a segunda parte
, usamos integração por partes:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: