Usando o Teste da comparação determine se a série é convergente ou divergente.
sum raizn+1n^2+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty raizn+1n^2+2
é convergente ou divergente. Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste da comparação, que compara com uma p-série conhecida.

Passo 2

Observe que os termos
an = raizn+1n^2+2
são positivos para todo n. Além disso, sabemos que a p-série
sumn=1^infty 1n^1/2
diverge, pois p=tfrac12<=1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite. Definimos
bn = 1raizn
e calculamos
limntoinftyanbn =limntoinftyraizn+1n^2+2;raizn =limntoinftyraizn^2+nn^2+2 =1

Passo 4

Como esse limite é finito e não nulo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Como sum bn diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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