Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
y-y^prime cos x=y^2 cos x(1-sen x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y - y' cos x = y^2cos x,(1 - sen x)
Isto é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
com n=2. Para resolver vamos:
1. Reescrever na forma padrão de Bernoulli.
2. Fazer a substituição u=y^1-n=y^-1.
3. Resolver a equação linear resultante em u.
4. Voltar a y para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma y'+P(x),y=Q(x),y^2. Partindo de
y - y'cos x = y^2cos x,(1 - sen x),
passamos o termo y'cos x para o outro lado e dividimos tudo por cos x:
y' - underbrace1cos xP(x),y = -,l(1-sen xr),y^2
Logo
P(x)=-sec x, Q(x)=-l(1-sen xr), n=2

Passo 3

Em equações de Bernoulli usa-se a substituição
u = y^1-n = y^-1
Então
u' = -y'y^2
A teoria diz que a equação em u fica
u' - P(x),u = -,Q(x)
Substituindo P e Q:
u' - l(-sec xr),u = -l[-(1-sen x)r] Longrightarrow u' + sec x,u = 1-sen x

Passo 4

Agora é uma EDO linear em u. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral sec x,dxr) = exp!l(ln|sec x+tan x|r) = sec x+tan x
Multiplicamos a equação por mu:
(sec x+tan x),u' + (sec x+tan x)sec x,u = (sec x+tan x)(1-sen x)
O lado esquerdo é ddxl[mu,ur]. Portanto
ddxl[(sec x+tan x),ur] = (sec x+tan x)(1-sen x)
Integramos em x:
(sec x+tan x),u = integral(sec x+tan x)(1-sen x),dx + C

Passo 5

Precisamos calcular
integral(sec x+tan x)(1-sen x),dx
Expandindo o integrando:
sec x(1-sen x)+tan x(1-sen x) =l(sec x-tan xr)+l(tan x-tan x,sen xr)
Mas tan x,sen x=sen^2xcos x=sec x-cos x. Logo
sec x-tan x+tan x-(sec x-cos x) =cos x
Então
integral(sec x+tan x)(1-sen x),dx =integralcos x,dx =sen x + C1
Substituindo de volta:
(sec x+tan x),u = sen x + C

Passo 6

Voltando à variável y, lembramos que u=y^-1. Assim
u = sin x + Csec x+tan x Longrightarrow y = 1u = sec x+tan xsin x + C
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por cos x:
y(x) = 1+sin xcos x,(sin x + C)

Resposta

A solução geral da equação dada é
boxedy(x)=1+sen xcos x,l(sen x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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