Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
d yd x+yx=y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bernoulli
dydx + 1x,y = y^3
Aqui p(x)=tfrac1x, q(x)=1 e o expoente é n=3. Para resolver uma Bernoulli usamos a substituição
z = y^,1-n = y^-2

Passo 2

Calculamos tfracdzdx a partir de z=y^-2:
dzdx = -2,y^-3,dydx
Dividindo a equação original por y^3
y^-3dydx + y^-2x = 1
Usando y^-3tfracdydx = -tfrac12,tfracdzdx e y^-2=z obtemos a equação linear em z:
-tfrac12,dzdx + zx = 1 Longrightarrow dzdx - 2x,z = -2

Passo 3

Para
dzdx - 2x,z = -2
o fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2 vem
x^-2dzdx - 2x^-3z = -2x^-2 Longrightarrow ddxl(x^-2zr) = -2x^-2
Integrando em x:
x^-2z = integral -2x^-2,dx = 2x^-1 + C,
onde C é constante de integração. Assim
z = 2x + Cx^2

Passo 4

Voltando a y, temos z=y^-2, logo
y^-2 = Cx^2 + 2x Longrightarrow y^2 = 1Cx^2 + 2x Longrightarrow y = pm1raizCx^2 + 2x

Resposta

boxedy(x) = pm1raizC,x^2 + 2,x,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados