Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
x d yd x+y+x^2 y^2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
xdydx+y+x^2y^2=0,
que é uma EDO de Bernoulli com P(x)=tfrac1x, Q(x)=x e expoente n=2. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Dividimos tudo por x para deixar na forma
dydx+1x,y + x,y^2=0
Aqui vemos claramente o termo P(x)y e o termo Q(x)y^n.

Passo 3

Na EDO de Bernoulli fazemos a troca
v=y^,1-n=y^-1
Logo
dvdx=-y^-2dydx

Passo 4

Da forma dividida temos
dydx = -1x,y - x,y^2
Substituindo em dvdx=-y^-2dydx
dvdx = -y^-2l(-1xy - x,y^2r) = 1x,y^-1 + x = 1x,v + x
Logo obtemos a EDO linear
dvdx - 1x,v = x

Passo 5

O fator integrante é
mu(x)=expl(-integral1xdxr)=1x
Multiplicando a EDO por mu(x) vem
1xdvdx-1x^2v = 1,
e o lado esquero é ddxl(tfracvxr). Integrando,
ddxl(vxr)=1 Longrightarrow vx=x + C Longrightarrow v = x^2+Cx

Passo 6

Voltando a y, como v=1/y, temos
1y=x^2+Cx Longrightarrow y=1x^2+Cx

Resposta

A solução geral é
y(x)=1x^2+C,x

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