Resolva a equação abaixo, sabendo que y1(x)=sen x é uma solução.
d yd x=(cotg x) y^2 cossec x-y+sen x

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
dydx=l(cot xr),y^2,csc x - y + sin x
e informa que já conhecemos uma solução particular
;y1(x)=sin x.
Para encontrar a solução geral, vamos usar a substituição padrão em equações de Riccati:
y(x)=y1(x)+1v(x) Longrightarrow y(x)=sin x+1v(x)

Passo 2

Com y=sin x+1/v temos
dydx =cos x-1v^2dvdx
Substituindo y e dy/dx na equação original e fazendo as simplificações (usando cot x=cos x/sin x e csc x=1/sin x) chega-se a uma equação linear em v:
dvdx+l(2cot x -1r),v =-cos xsin^2x

Passo 3

Para resolver
dvdx+(2cot x -1),v=-cos xsin^2x
calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral(2cot x -1),dxr) =expl(2lnsin x -xr) =e^-xsin^2x
Multiplicando a ODE por mu e integrando, obtém-se
v(x),mu(x) =integral -e^-xcos x,dx + C =e^-x(cos x-sin x)2+C
Logo
v(x) =tfrace^-x(cos x-sin x)2+Ce^-xsin^2x =cos x-sin x2sin^2x +C,e^xsin^2x

Passo 4

Voltando à substituição y=sin x+1/v, a solução geral é
y(x) =sin x +1 cos x-sin x2sin^2x +C,e^xsin^2x

Resposta

boxed y(x) =sin x +1 cos x-sin x2sin^2x +C,e^xsin^2x ,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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