Determine a solução geral das edos Exatas:
y^2(x-y)^2-1x+[1y-x^2(x-y)^2] d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^2(x-y)^2 ;-;1x ;+;gl[1y-x^2(x-y)^2gr]dydx ;=;0
Isto é uma equação do tipo
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
que vamos verificar ser exata e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y^2(x-y)^2 ;-;1x, N(x,y)=1y-x^2(x-y)^2

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y =2,y(x-y)^2+2,y^2(x-y)^3, partial Npartial x =-2,x(x-y)^2+2,x^2(x-y)^3
Fazendo
partial Mpartial y-partial Npartial x =2(y+x)(x-y)^2 +2(y^2-x^2)(x-y)^3 =0,
logo M,dx+N,dy é exata.

Passo 4

Procuramos F(x,y) tal que partial F/partial x=M.
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
integral y^2(x-y)^2,dx =-y^2x-y, integral -1x,dx =-ln|x|
Logo
F(x,y)=-y^2x-y-ln|x|+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Calculamos partial F/partial y e igualamos a N(x,y):
partial Fpartial y =-2,yx-y+y^2(x-y)^2+h'(y)
Isto deve ser igual a
N(x,y)=1y-x^2(x-y)^2
Fazendo a comparação e simplificando os termos racionais em (x-y), obtemos
h'(y)=1y-1 Longrightarrow h(y)=ln|y|-y

Passo 6

Substituindo h(y) em F, a função potencial é
F(x,y) =-y^2x-y-ln|x|+ln|y|-y
A solução geral está dada implicitamente por
F(x,y)=C

Resposta

-y^2x-y-y+ln!l|yxr|=C,
onde C é constante arbitrária.

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