Determine a solução geral das edos de Bernoulli:
y^prime+x y=x^3 y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
y' + x,y = x^3,y^3
Aqui temos uma EDO não linear do tipo
y' + p(x),y = q(x),y^n,
com p(x)=x, q(x)=x^3 e n=3. Para resolver, vamos usar a substituição clássica de Bernoulli:
u = y^,1-n = y^-2

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO multiplicada por y^-3 para expor y^-3y':
y^-3y' + x,y^-2 = x^3
Como
u = y^-2,
temos
u' = ddxl(y^-2r) = -2,y^-3,y',
isto é,
y^-3y' = -tfrac12,u'
Substituindo em cima,
-tfrac12,u' + x,u = x^3,
ou seja,
u' - 2x,u = -2,x^3

Passo 3

Agora resolvemos a EDO linear em u:
u' + P(x),u = Q(x),
com P(x)=-2x e Q(x)=-2x^3. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -2x,dx = e^-x^2
Multiplicando a EDO por mu(x), obtemos
ddxl(u,e^-x^2r) = -2,x^3,e^-x^2

Passo 4

Integramos em relação a x:
u,e^-x^2 = integral -2,x^3,e^-x^2,dx
Fazendo a troca s = x^2, ds = 2x,dx, a integral vira
integral -2,x^3,e^-x^2,dx = integral -s,e^-s,ds = (s+1),e^-s + C = (x^2+1),e^-x^2 + C
Logo
u,e^-x^2 = (x^2+1),e^-x^2 + C Longrightarrow u = x^2+1 + C,e^x^2

Passo 5

Voltando à substituição u=y^-2, temos
y^-2 = 1 + x^2 + C,e^x^2 Longrightarrow y^2 = 11 + x^2 + C,e^x^2
e, portanto, a solução geral é
y(x) = pm 1raiz,1 + x^2 + C,e^x^2,

Resposta

boxedy(x) = pm 1raiz1 + x^2 + C,e^x^2,,
onde C é constante arbitrária.

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