Use o teste da razão para tentar decidir sobre a convergência de:
sumk=1^infty 4^k+k(k+1)! (converge)

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumk=1^infty4^k+k(k+1)!
usando o teste da razão. Nesse teste, definimos ak=(4^k+k)/(k+1)! e calculamos
L=limktoinfty|ak+1ak|
Se L<1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
ak=4^k+k(k+1)! e ak+1=4^k+1+(k+1)(k+2)!

Passo 3

Formamos a razão
ak+1ak = 4^k+1+(k+1)(k+2)!,g/, 4^k+k(k+1)! =4^k+1+(k+1)(k+2),l(4^k+kr)

Passo 4

Para simplificar, note que para k grande os termos k e k+1 são negligenciáveis em comparação com 4^k e 4^k+1. Assim
ak+1ak approx4cdot4^k(k+2),4^k =4k+2

Passo 5

Tomando o limite
L=limktoinftyak+1ak =limktoinfty4k+2 =0
Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty4^k+k(k+1)! converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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