Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
y+(2 x y-e^-2 y) d yd x=0

Passo 1

Primeiro, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem não exata: y + (2 x y - e^-2 y) dydx = 0. O conteúdo aqui é equação diferencial exata e fator integrante para tornar exata.

Passo 2

Reescrevemos na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, com M(x,y)=y e N(x,y)=2xy - e^-2y.

Passo 3

Verificamos se é exata calculando ∂M∂y=1 e ∂N∂x=2y. Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 4

Para achar um fator integrante só em função de y, usamos a condição ∂N∂x - ∂M∂yM = φ(y). Aqui 2y-1y = 2 - 1y, que depende só de y.

Passo 5

Assim, μ(y) satisfaz dμμ = (2 - tfrac1y),dy. Integrando, ln|μ| = 2y - ln|y| + C, então escolhemos μ = e^2yy.

Passo 6

Multiplicando a EDO original por μ, fica M̃ = μM = e^2y e Ñ = μN = 2x e^2y - tfrac1y. Agora ∂M̃∂y=2e^2y e ∂Ñ∂x=2e^2y, ou seja, é exata.

Passo 7

Para achar a função potencial Ψ(x,y), integramos em x:
Ψ = ∫e^2y,dx = x e^2y + h(y)
Derivando em y: ∂Ψ∂y = 2x e^2y + h'(y) e igualamos a : 2x e^2y + h'(y) = 2x e^2y - tfrac1y. Logo h'(y) = -tfrac1y, implicando h(y) = -ln|y|.

Passo 8

A solução geral implícita vem de Ψ(x,y) = C, ou seja
x e^2y - ln|y| = C

Resposta

x e^2y - ln|y| = C

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