Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante.
Passo 1
Primeiro, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem não exata:
. O conteúdo aqui é equação diferencial exata e fator integrante para tornar exata.
Passo 2
Reescrevemos na forma
, com
e
.
Passo 3
Verificamos se é exata calculando
e
. Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 4
Para achar um fator integrante só em função de
, usamos a condição
. Aqui
, que depende só de
.
Passo 5
Assim,
satisfaz
. Integrando,
, então escolhemos
.
Passo 6
Multiplicando a EDO original por
, fica
e
. Agora
e
, ou seja, é exata.
Passo 7
Para achar a função potencial
, integramos
em
:
Derivando em :
e igualamos a
:
. Logo
, implicando
.
Derivando em
Passo 8
A solução geral implícita vem de
, ou seja