1. A população de pássaros de uma ilha experimenta um crescimento sazonal descrito por
d yd t=(3 sen 2 pi t) y
onde t é o tempo em anos. A migração para dentro e para fora da ilha também é sazonal. A taxa de migração é dada por M(t)=2000 sen 2 pi t pássaros por ano. Logo a equação diferencial completa da população é dada por d yd t=( crescimento sazonal )+( migração pra dentro/fora) =(3 sen 2 pi t) y+2000 sen 2 pi t
a) Determine y(t) que satisfaz y(0)=500.
b) Determine a população máxima.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial sazonal da população de pássaros
dydt = 3sin(2pi t),y + 2000sin(2pi t),
com condição inicial y(0)=500. O conteúdo aqui é resolução de uma EDO linear não homogênea usando fator integrante e depois análise para achar o máximo de y(t).

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
dydt - 3sin(2pi t),y = 2000sin(2pi t)
Aqui p(t) = -3sin(2pi t). O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(-3integral sin(2pi t),dtr) = expl(32picos(2pi t)r)

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
ddtl(mu,yr) = mu(t),2000sin(2pi t)
Para integrar o lado direito fazemos a substituição u=cos(2pi t), du=-2pisin(2pi t),dt. Assim
integral 2000sin(2pi t),expl(tfrac32picos(2pi t)r),dt = -20002piintegral e^32piu,du = -20003,e^32piu+C,
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mu(t),y = -20003expl(tfrac32picos(2pi t)r) + C

Passo 4

Voltando a y e aplicando y(0)=500 (em t=0, cos(0)=1, mu(0)=e^3/(2pi)) obtemos
y(t) = -20003 + C,exp!l(-tfrac32picos(2pi t)r), 500 = -20003 + C,e^-32picdot1
Daí
C = l(500 + tfrac20003r)e^32pi,
e finalmente
y(t) = -20003 + l(500 + tfrac20003r) exp!l(tfrac32pil(1-cos(2pi t)r)r)

Passo 5

Para achar o máximo de y(t), note que o exponencial expl(tfrac32pi(1-cos(2pi t))r) é maior quando 1-cos(2pi t) é máximo, ou seja cos(2pi t)=-1 em t=tfrac12. Assim
ymax = -20003 + l(500 + tfrac20003r) exp!l(tfrac32pi(1-(-1))r) = -20003 + 35003,e^3pi

Resposta

a)
y(t) = -20003 + l(500 + tfrac20003r) exp!l(tfrac32pil(1-cos(2pi t)r)r)
b)
A população atinge o máximo em t=tfrac12 ano, valendo
ymax = -20003 + 35003,e^3pi

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