- A população de pássaros de uma ilha experimenta um crescimento sazonal descrito por
onde
é o tempo em anos. A migração para dentro e para fora da ilha também é sazonal. A taxa de migração é dada por
pássaros por ano. Logo a equação diferencial completa da população é dada por
crescimento sazonal
migração pra dentro/fora)
a) Determine
que satisfaz
.
b) Determine a população máxima.
a) Determine
b) Determine a população máxima.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial sazonal da população de pássaros
com condição inicial
. O conteúdo aqui é resolução de uma EDO linear não homogênea usando fator integrante e depois análise para achar o máximo de
.
Passo 2
Reescrevemos em forma padrão
Aqui
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
Para integrar o lado direito fazemos a substituição
,
. Assim
logo
Passo 4
Voltando a
e aplicando
(em
,
,
) obtemos
Daí
e finalmente
Passo 5
Para achar o máximo de
, note que o exponencial
é maior quando
é máximo, ou seja
em
. Assim
Resposta
a)
b)
A população atinge o máximo em ano, valendo
A população atinge o máximo em