Determine a solução geral das edos Homogêneas:
x^2+3 x y+y^2-x^2 d yd x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^2+3xy+y^2-x^2dydx=0
e pede a solução geral. Trata-se de uma EDO homogênea, pois a razão
x^2+3xy+y^2x^2
é função de y/x. Para resolver vamos usar a substituição y=vx.

Passo 2

Primeiro escrevemos a EDO em forma dy/dx=cdots. Da equação original segue
x^2dydx=x^2+3xy+y^2
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dydx=1+3yx+l(yxr)^2

Passo 3

Fazendo y=vx, temos
dydx=v+xdvdx
e
yx=v
Substituindo em dy/dx=1+3v+v^2 resulta
v + xdvdx=1+3v+v^2
ou seja
xdvdx=(v+1)^2

Passo 4

Separamos variáveis em
integral dv(v+1)^2=integral dxx
e ao integrar obtemos
-1v+1=lnlvert xrvert + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a v=y/x, temos v+1=(y+x)/x, então
-xy+x=lnlvert xrvert + C
Reescrevendo com outra constante C', fica
xx+y+lnlvert xrvert = C'

Resposta

xx+y+lnlvert xrvert = C,
que é a solução geral da EDO homogênea.

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