Determine a solução geral das edos Redutíveis:
(x+2 y-4)-(2 x+y-5) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x + 2y - 4) ;-;(2x + y - 5),dydx=0,
que podemos reescrever como
dydx=x+2y-42x+y-5
O conteúdo aqui é o método de tornar a equação homogênea por meio de uma translação de variáveis, depois resolver com a mudança u=Y/X.

Passo 2

Procuramos um ponto
Resolvendo, obtemos . Definimos então

Passo 3

Substituindo x=X+2 e y=Y+1 vemos que
x+2y-4 = X+2Y, 2x+y-5 = 2X+Y,
de modo que a equação vira
dYdX=X+2Y2X+Y,
que é homogênea de grau 1 em (X,Y).

Passo 4

Para resolver a homogênea, usamos u=tfracYX, logo
Y = uX, dYdX=u + XdudX
Então
u + XdudX =X+2uX2X+uX =1+2u2+u

Passo 5

Isolando du/dX:
XdudX =1+2u2+u-u =1-u^2u+2
Separamos variáveis:
u+21-u^2,du = dXX

Passo 6

Fazendo frações parciais em tfracu+21-u^2=tfracu+2(1-u)(1+u) obtemos
u+21-u^2 =tfrac321-u+tfrac121+u
Integrando,
integral!l(3/21-u+1/21+ur)du =integraldXX
-tfrac32ln|1-u|+tfrac12ln|1+u| = ln|X| + C

Passo 7

Reescrevendo em forma exponencial e voltando a u=Y/X e X=x-2, Y=y-1, obtemos a solução implícita
1+u(1-u)^3=K,X^2 ;Longrightarrow; x+y-3l(x-y-1r)^3=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

boxedx+y-3(x-y-1)^3=C,
com C constante.

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