Determine a solução geral das edos Homogêneas:
2 y-(2 x-y) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
2,y ;-;(2,x - y),dydx=0
Note que podemos escrevê-la como
dydx=2,y2,x - y,
que é uma função de tfracyx, ou seja, uma equação homogênea de primeira ordem. Vamos usar a substituição y=v,x.

Passo 2

Defina
v=yx,
logo y=v,x e
dydx=v + x,dvdx
Substituindo em dydx=2,y2,x - y
v + x,dvdx =2,v,x2,x - v,x =2,v2 - v

Passo 3

Isolando o termo com dv/dx,
x,dvdx =2,v2-v-v =v^22-v
Agora separamos as variáveis:
2-vv^2,dv=dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral!l(2,v^-2-v^-1r),dv =integraldxx
No lado esquerdo,
integral2,v^-2,dv= -2v, integral v^-1,dv=lnl|vr|,
então
-2v-lnl|vr| =lnl|xr|+C

Passo 5

Multiplicando por -1 e ajustando a constante,
2v+lnl|vr| =-lnl|xr|+C1
Voltando a v=tfracyx:
lnl|yxr|+2,xy =-lnl|xr|+C1
Como ln|y|- ln|x|+2x/y=-ln|x|+C1, simplifica para
lnl|yr|+2,xy=C

Resposta

boxedlnl|yr|+2,xy=C,
onde C é a constante de integração.

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