Determine a solução geral das edos lineares:
d rhod theta+rho tg theta=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem. A equação é:
d rhod theta + rho tan theta = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais familiar para o método do fator integrante. A equação geral de uma EDO linear de primeira ordem é:
dydx + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, identificamos que:
  • P(theta) = tan theta
  • Q(theta) = 0
Como a equação está igual a zero, isso simplifica um pouco as coisas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante mu(theta) é dado por:
mu(theta) = e^integral P(theta) dtheta = e^integral tan theta dtheta
Sabemos que:
integral tan theta dtheta = -ln|cos theta| + C
Então,
mu(theta) = e^-ln|cos theta| = 1cos theta = sec theta

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(theta) :
sec theta cdot d rhod theta + sec theta cdot rho tan theta = 0
Simplificando:
d rhod theta cdot sec theta + rho cdot sec theta tan theta = 0
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto rho cdot sec theta :
ddtheta ( rho cdot sec theta ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a theta :
rho cdot sec theta = C
Onde C é a constante de integração. Agora, resolvemos para rho :
rho = C cos theta

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
rho(theta) = C cos theta

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