Usando o Teste da comparação determine se a série é convergente ou divergente.
sum n+1n raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o Teste da comparação, se a série
sumn=1^infty n+1nraizn
é convergente ou divergente. Vamos precisar reconhecer uma série p-série e comparar termos positivos.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:
n+1nraizn =nnraizn+1nraizn =1raizn+1nraizn
Como 1nraizn>0, temos
n+1nraizn >=1raizn

Passo 3

A série
sumn=1^infty1raizn
é uma p-série com p=tfrac12. Como p<=1, essa série diverge.

Passo 4

Pelo Teste da comparação, se 0<= bn<= an para todo n e sum bn diverge, então sum an também diverge. Aqui escolhemos
an=n+1nraizn, bn=1raizn,
com bn<= an e sum bn divergente. Logo sum an diverge.

Resposta

A série é divergente.

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