Usando o Teste da comparação determine se a série é convergente ou divergente.
sum n2 n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty n2n^3+1
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação. O conteúdo envolve reconhecer o comportamento assintótico de an = n2n^3+1 e compará-lo a uma p-série.

Passo 2

Para n>=1, temos
2n^3+1 >= 2n^3
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n2n^3+1 <= n2n^3 = 12n^2
Definimos então bn = 12n^2, de modo que 0 <= an <= bn.

Passo 3

A série
sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 12n^2 = 12 sumn=1^infty 1n^2
é convergente porque é uma p-série com p=2>1.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação: como 0 <= an <= bn e sum bn converge, conclui-se que
sumn=1^infty an = sumn=1^infty n2n^3+1
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n2n^3+1 é convergente.

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