Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sum n cdot e^-n^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série
sumn=1^inftyn,e^-n^2
é convergente ou divergente. Vamos associar a série à função
f(x)=x,e^-x^2,
definida para x>=1, e aplicar o teste.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral. A função f(x) é contínua e positiva em [1,infty). Derivando,
f'(x) =ddxl(x,e^-x^2r) =e^-x^2+xl(-2x,e^-x^2r) =e^-x^2(1-2x^2)
Para x>=1 temos 1-2x^2<=-1<0, logo f'(x)<0. Assim, f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^inftyx,e^-x^2,dx
Fazendo a substituição u=x^2, du=2x,dx, obtemos
integral1^inftyx,e^-x^2,dx =12integral1^inftye^-u,du =12l[-e^-ur]1^infty =12e,
que é finito.

Passo 4

Como a integral converge (é finita), pelo Teste da Integral a série
sumn=1^inftyn,e^-n^2
também converge.

Resposta

A série converge.

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