Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série
é convergente ou divergente. Vamos associar a série à função
definida para
, e aplicar o teste.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste da Integral. A função
é contínua e positiva em
. Derivando,
Para
temos
, logo
. Assim,
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
, obtemos
que é finito.
Passo 4
Como a integral converge (é finita), pelo Teste da Integral a série
também converge.
Resposta
A série converge.