Determine a solução geral das edos de variáveis separáveis:
x y(y+2)-(y+1) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y(y+2);-;(y+1),dydx;=;0
que é do tipo variáveis separáveis. Nosso objetivo é escrever todos os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em x multiplicando dx do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando dydx, temos
(y+1),dydx ;=; x,y(y+2)
Agora separamos as variáveis:
y+1y(y+2),dy ;=; x,dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
y+1y(y+2) ;=; Ay ;+;By+2
Multiplicando por y(y+2) vem
y+1 = A(y+2) + B,y = (A+B),y + 2A
Comparando coeficientes obtemos
A+B = 1, 2A = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac12,; B = tfrac12

Passo 4

Integrando ambos os lados,
integral y+1y(y+2),dy = 12integral!1y,dy ;+;12integral!1y+2,dy = 12lnlvert yrvert + 12lnlvert y+2rvert = 12lnllvert y(y+2)rrvert
Do outro lado,
integral x,dx = x^22 + C

Passo 5

Igualando as integrais,
12lnllvert y(y+2)rrvert = x^22 + C
Multiplicando por 2 e exponenciando, definindo C'=2C e K=e^C', obtemos a forma implícita
lnllvert y(y+2)rrvert = x^2 + C' Longrightarrow y(y+2) = K,e^x^2

Resposta

A solução geral implícita é
y(y+2) = C,e^x^2,
onde C é constante arbitrária.
Em forma explícita, isolando y, temos
y = -1 pm raiz1 + C,e^x^2

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