Determine a solução geral das edos Redutíveis:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
ou seja,
Como numerador e denominador são ambos lineares em
com termos constantes, faremos primeiro uma translação para eliminar esses termos e obter uma EDO homogênea.
Passo 2
Procuramos a translação
tal que, nos novos termos,
fiquem sem constantes. Da expansão obtemos
Resolvendo o sistema
acaba-se com
h=-1 e
k=0 .
Passo 3
Com a mudança
a EDO fica
que é homogênea (grau zero).
Passo 4
Usamos a substituição típica de EDO homogênea:
Substituindo em
dYdX=(3Y-7X)/(3X-7Y) dá
Passo 5
Separamos variáveis:
Em frações parciais
logo
Passo 6
Volta às variáveis originais:
então
Multiplicando por
(x-1)^7 e absorvendo constantes:
Resposta
onde
C é a constante de integração.