Determine a solução geral das edos Redutíveis:
3 y-7 x+7-(3 x-7 y-3) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3y - 7x + 7 ;-;(3x - 7y - 3),dydx ;=; 0,
ou seja,
dydx = 3y - 7x + 73x - 7y -3
Como numerador e denominador são ambos lineares em x,y com termos constantes, faremos primeiro uma translação para eliminar esses termos e obter uma EDO homogênea.

Passo 2

Procuramos a translação
X = x + h, Y = y + k
tal que, nos novos termos,
3Y -7X + C1 e 3X -7Y + C2
fiquem sem constantes. Da expansão obtemos
C1 = -3k +7h +7, C2 = -3h +7k -3
Resolvendo o sistema
7h -3k +7 = 0, -3h +7k -3 = 0,
acaba-se com h=-1 e k=0.

Passo 3

Com a mudança
X = x - 1, Y = y,
a EDO fica
dYdX = 3Y -7X3X -7Y,
que é homogênea (grau zero).

Passo 4

Usamos a substituição típica de EDO homogênea:
v = YX, Y = vX, dYdX = v + XdvdX
Substituindo em
dYdX=(3Y-7X)/(3X-7Y)
v + XdvdX = 3v -73 -7v ;;Longrightarrow;; XdvdX = 7(v^2 -1)3 -7v

Passo 5

Separamos variáveis:
integral 3 - 7vv^2 - 1,dv = integral 7X,dX
Em frações parciais
3 - 7vv^2 -1 = -2v-1 + -5v+1,
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-2ln|v-1| -5ln|v+1| = 7ln|X| + C ;Longrightarrow; 2ln|v-1| +5ln|v+1| = -7ln|X| + C',
l(v-1r)^2l(v+1r)^5 = C',X^-7

Passo 6

Volta às variáveis originais:
X = x-1, v = YX = y,x-1,,
então
l(tfracyx-1-1r)^2 l(tfracyx-1+1r)^5 = C,(x-1)^-7
Multiplicando por (x-1)^7 e absorvendo constantes:
(y - x + 1)^2,(y + x - 1)^5 = C

Resposta

boxed (y - x + 1)^2 ,(y + x - 1)^5 = C,
onde C é a constante de integração.

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