Determine a solução geral das edos Redutíveis:
3 x-y+2+(9 x-3 y+1) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3x - y + 2 ;+;(9x - 3y + 1),dydx ;=;0
e pede a solução geral. Este é um caso de EDO redutível: tanto o numerador 3x - y + 2 quanto o coeficiente de dydx, 9x - 3y + 1, dependem da combinação linear 3x - y. Vamos usar a substituição
u = 3x - y
para simplificar.

Passo 2

Da definição u = 3x - y segue
dudx = 3 - dydx,
ou seja
dydx = 3 - dudx
No ODE original, isolamos tfracdydx:
(9x - 3y + 1),dydx = -l(3x - y + 2r)
Reconhecendo 3x - y = u, escrevemos
9x - 3y + 1 = 3u + 1, 3x - y + 2 = u + 2,
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(3u+1),dydx = -(u+2)
Substituindo dydx=3 - dudx obtemos
(3u+1)l(3 - dudxr) = -(u+2)

Passo 3

Expandindo e isolando dudx:
3(3u+1) - (3u+1)dudx = -(u+2) ;Longrightarrow; -(3u+1)dudx = -(u+2) - 9u - 3
-(3u+1)dudx = -10u -5 ;Longrightarrow; dudx = 10u+53u+1 = 5,2u+13u+1
Agora a equação está separável:
3u+12u+1,du = 5,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro dividimos:
3u+12u+1 = 32 - 1/22u+1
Então
integral 3u+12u+1,du = integral l(tfrac32 - tfrac12(2u+1)r)du = tfrac32,u - tfrac14lnl|2u+1r| + C
Do outro lado vem integral 5,dx = 5x + C'. Igualando e juntando constantes:
tfrac32,u - tfrac14lnl|2u+1r| = 5x + C1
Multiplicando por 4:
6u - lnl|2u+1r| = 20x + C2

Passo 5

Voltando a u = 3x - y, temos
6(3x - y) - lnl|2(3x - y)+1r| = 20x + C2 ;Longrightarrow; 18x - 6y - lnl|6x - 2y + 1r| = 20x + C2
Reorganizando,
-lnl|6x - 2y + 1r| -2x -6y = C2 ;Longrightarrow; lnl|6x - 2y + 1r| + 2x + 6y = C
onde C é constante geral.

Resposta

boxedlnl|6x - 2y + 1r| + 2x + 6y = C

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