Determine a solução geral das edos Redutíveis:
x-2 y+5+(2 x-y+4) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x - 2y + 5 ;+;(2x - y + 4),dydx ;=;0
Este tipo de EDO tem a forma
M(x,y)+N(x,y),dydx=0,
onde M e N são polinômios de grau 1 em x,y. Não é exata, mas podemos torná-la homogênea por uma translação x=X+x0, y=Y+y0 que zere os termos constantes em M e N.

Passo 2

Procuramos x0,y0 tais que, ao escrever
x=X+x0, y=Y+y0,
os termos constantes em
M= x-2y+5e N=2x-y+4
desapareçam.
Substituindo:
M=(X+x0)-2(Y+y0)+5 = X-2Y + (x0-2y0+5),
N=2(X+x0)-(Y+y0)+4 = 2X - Y + (2x0 - y0+4)
Impondo
x0 -2y0+5=0, 2x0 - y0+4=0
resolve-se x0=-1, y0=2. Logo a mudança é
X = x+1, Y = y-2

Passo 3

Em (X,Y) a equação vira
(X-2Y)+(2X-Y),dYdX=0 Longrightarrow dYdX = -X-2Y2X-Y,
que é agora homogênea de grau zero, pois o numerador e o denominador são lineares sem constantes.

Passo 4

Fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
Y = tX Longrightarrow dYdX = t + X,dtdX
Substituindo em
t + XdtdX = -X-2tX2X-tX = -1-2t2-t,
temos
XdtdX = -1-2t2-t ;-; t = -1+t^22-t
Ou seja
2-tt^2-1,dt = dXX,
que é separável.

Passo 5

Integramos
integral 2-tt^2-1,dt = integral dXX
Fazendo frações parciais em 2-t(t-1)(t+1)
12ln|t-1|-32ln|t+1| = ln|X| + C
Reagrupando em expoente único obtém-se
ln!gl|t-1(t+1)^3gr| = 2ln|X| + C' Longrightarrow t-1(t+1)^3 = K,X^2
Voltando a t=Y/X e a X=x+1, Y=y-2, chega-se a
(y-2)/(x+1);-;1 l((y-2)/(x+1)+1r)^3 =K,(x+1)^2,
que simplifica para a solução implícita abaixo.

Resposta

boxed y - x -3l(x + y -1r)^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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