Determine a solução geral das edos Redutíveis:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
Este tipo de EDO tem a forma
onde
e
são polinômios de grau 1 em
. Não é exata, mas podemos torná-la homogênea por uma translação
,
que zere os termos constantes em
e
.
Passo 2
Procuramos
tais que, ao escrever
os termos constantes em
desapareçam.
Substituindo:
Substituindo:
Impondo
resolve-se
,
. Logo a mudança é
Passo 3
Em
a equação vira
que é agora homogênea de grau zero, pois o numerador e o denominador são lineares sem constantes.
Passo 4
Fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
Substituindo em
temos
Ou seja
que é separável.
Passo 5
Integramos
Fazendo frações parciais em
dá
Reagrupando em expoente único obtém-se
Voltando a
t=Y/X e a
X=x+1 ,
Y=y-2 , chega-se a
que simplifica para a solução implícita abaixo.
Resposta
onde
C é constante arbitrária.