Resolva as edos de Clairaut e Lagrange:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a resolução pelo método de Clairaut. Reconhecemos a forma típica
onde
e
. Para resolver usamos o procedimento padrão: primeiro achamos a solução geral assumindo
constante, depois encontramos a solução singular (envelope) diferenciando em relação a
.
Passo 2
Tomando
constante, substituímos na equação
Essa família de retas é a solução geral da equação de Clairaut, com parâmetro
.
Passo 3
Para achar a solução singular (envelope), diferenciamos
em relação a
, tratando
como constante:
Reescrevendo,
Passo 4
Substituímos cada ramo de
na forma original
Após simplificar, obtemos a solução singular em forma explícita:
válida para
, ou seja
.
Resposta
Solução geral (família de retas):
com
arbitrário.
Solução singular (envelope):