Resolva as edos de Clairaut e Lagrange:
y=x+(d yd x)^2-23(d yd x)^3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y = x +l(dydxr)^2-23l(dydxr)^3
e pede a resolução pelo método de Clairaut. Reconhecemos a forma típica
y = x,p + f(p),
onde p=dydx e f(p)=p^2-tfrac23p^3. Para resolver usamos o procedimento padrão: primeiro achamos a solução geral assumindo p=C constante, depois encontramos a solução singular (envelope) diferenciando em relação a p.

Passo 2

Tomando p=dydx=C constante, substituímos na equação
y = x,C + C^2-23C^3
Essa família de retas é a solução geral da equação de Clairaut, com parâmetro C.

Passo 3

Para achar a solução singular (envelope), diferenciamos
y = x,p + p^2-23p^3
em relação a p, tratando x como constante:
0 = partialpartial pl(xp + p^2-tfrac23p^3r) = x + 2p - 2p^2
Reescrevendo,
2p^2-2p - x = 0 Longrightarrow p = 1 pm raiz1+2x2

Passo 4

Substituímos cada ramo de p na forma original
y = x,p + p^2-23p^3
Após simplificar, obtemos a solução singular em forma explícita:
y = 3x + 1 pm (1+2x)raiz1+2x6,
válida para 1+2x>=0, ou seja x>= -tfrac12.

Resposta

Solução geral (família de retas):
y = C,x + C^2 - 23C^3,
com C arbitrário.
Solução singular (envelope):
y = 3x + 1 pm (1+2x)raiz1+2x6, x>= -tfrac12

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