Resolva as edos de Clairaut e Lagrange:
y=x y^prime+y^prime

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x,y' + y'
e pede para resolver como Clairaut e como Lagrange. Identificamos que, colocando p = y', ela tem a forma de Clairaut
y = x,p + f(p)com f(p)=p
e também pode ser vista como Lagrange na forma
y = phi(x),p + psi(x)com phi(x)=x+1,;psi(x)=0

Passo 2

Via Clairaut.
Mantemos p constante. A solução geral é
y = C,x + f(C) = C,x + C
A singular vem do envelope dado por
0 = partialpartial pl(x,p + f(p)r) = x + f'(p) = x + 1 ;Longrightarrow;x=-1
Substituindo em y = x,p + p obtém-se
y = -p + p = 0,
logo a solução singular é o ponto (x,y)=(-1,0).

Passo 3

Via Lagrange.
Reescrevemos isolando y':
y' = yx+1
É uma equação separável, pois
dyy = dxx+1
Integrando,
ln|y| = ln|x+1| + K Longrightarrow y = K,(x+1)
Tomando K=C, chegamos a
y = C,x + C,
que coincide com a solução geral de Clairaut.

Passo 4

Concluímos que
solução >=ral: y = C,x + C, çã
e que há a solução singular (Clairaut) reduzida ao ponto
(x,y)=(-1,0)

Resposta

A solução geral é y = C,x + C e a solução singular é o ponto (x,y)=(-1,0).

Exercícios relacionados