Seja I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ) como sendo a (única) reta que passa pelo ponto ( a, f(a) ) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h=lim x a f(x)-f(a)x-a,quando o limite existe.
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) no ponto a indicado e, em seguida, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ):
f(x)=1x, a=3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tfrac1x no ponto a=3 e, em seguida, a equação da reta tangente ao gráfico de f em l(3,f(3)r). Vamos usar a definição de derivada como limite e depois a fórmula da reta tangente em ponto dado.

Passo 2

Pela definição,
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h =limhto0tfrac1a+h-tfrac1ah

Passo 3

Dentro do limite, fazemos
tfrac1a+h-tfrac1ah =tfraca-(a+h)a(a+h)h =-ha(a+h)cdot1h =-1a(a+h)
Ao hto0, isso vira
f'(a)=-1a^2
Para a=3,
f'(3)=-13^2=-19

Passo 4

A reta tangente em l(3,f(3)r) tem coeficiente angular m=f'(3)=-tfrac19 e passa por l(3,tfrac13r). Usando a forma ponto-inclinação,
y-13 =-19l(x-3r)
Se preferir a forma explícita, basta expandir:
y=-19x+23

Resposta

f'(3)=-tfrac19
Equação da tangente:
y-13=-19,(x-3) ou y=-19x+23

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