Se a posição de um carro no instante t>0 é dada pela função s(t), então a velocidade média entre os instantes t e t+h é dada por (s(t+h)-s(t)) / h, sempre que t+h>0. Definimos a velocidade instantânea do carro no instante t>0 como sendo
v(t)=lim h 0 s(t+h)-s(t)h,
quando esse limite existe. Calcule a velocidade instantânea em cada um dos casos abaixo:
s(t)=raizt

Passo 1

O enunciado define a posição do carro como s(t)=raizt para t>0 e nos lembra que a velocidade instantânea é dada pela definição de derivada
v(t)=limhto0s(t+h)-s(t)h
Aqui vamos aplicar essa definição ao caso s(t)=raizt, usando álgebra (racionalização) para conseguir simplificar o quociente antes de tirar o limite.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença para s(t)=raizt:
s(t+h)-s(t)h =raizt+h-raizth
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizt+h+raizt:
raizt+h-raizth cdot raizt+h+raiztraizt+h+raizt = (t+h)-t,hl(raizt+h+raiztr) = h,hl(raizt+h+raiztr) =1raizt+h+raizt

Passo 3

Agora basta tomar o limite quando hto0:
v(t) =limhto01raizt+h+raizt =1raizt+raizt =12raizt

Resposta

A velocidade instantânea é
v(t)=12raizt

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