Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}, y(2)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Perguntas e dados relevantes:
  • Enunciado: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}-1}{x^{2}-1}.
  • Condição inicial: y(2)=2.
  • Observações óbvias extraídas do enunciado que são importantes para resolver: o denominador x^{2}-1 anula-se em x=\pm1, logo a equação não está definida nesses pontos; o numerador y^{2}-1 anula-se em y=\pm1, o que sugere possíveis soluções constantes y\equiv1 e y\equiv-1.
  • O que se pede: encontrar a solução geral (família de soluções) da EDO separável e, a partir dela, obter a solução que satisfaz y(2)=2.

Passo 2

Identificação e separação das variáveis (passo técnico): a equação é separável — podemos reunir os termos em y num lado e os termos em x no outro. Antes de dividir, tratar casos singulares:
  • Se y\equiv1 então y^{2}-1=0 e \dfrac{dy}{dx}=0, a igualdade da EDO fica 0=\dfrac{0}{x^{2}-1}, verdadeira para x\neq\pm1. Logo y\equiv1 é solução (em intervalos onde x\neq\pm1).
  • Analogamente, y\equiv-1 é solução.
Agora suponha que a solução não seja constante \pm1. Podemos dividir por y^{2}-1 e por x^{2}-1 (em regiões onde esses não são zero) e separar:
\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.

Passo 3

Integração dos dois lados: vamos integrar cada lado. Primeiro lembrinha didática sobre uma integral padrão:
  • Técnica útil: fatorar (u^{2}-1)=(u-1)(u+1) e usar frações parciais para integrar \dfrac{1}{u^{2}-1}.
Fazer a decomposição para u genérico:
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}.
Encontrando A e B: 1=A(u+1)+B(u-1). Igualando coeficientes ou avaliando u=1 e u=-1:
  • Para u=1: 1=A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Para u=-1: 1=B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
Assim
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right).
Aplicando com u=y no lado esquerdo e com u=x no lado direito:
\int\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)dy =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|+C_1.
\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_2.

Passo 4

Igualando as integrais (absorvendo constantes): da separação integrando obtemos
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C,
onde C=C_2-C_1 é constante arbitrária. Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+2C \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=e^{2C}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Definindo K=\pm e^{2C} (constante real não nula que pode ser positiva ou negativa), obtemos a relação sem valor absoluto:
\frac{y-1}{y+1}=K\frac{x-1}{x+1}.

Passo 5

Isolando y explicitamente em termos de x e da constante K: chame A=K\frac{x-1}{x+1}. Então
\frac{y-1}{y+1}=A \quad\Rightarrow\quad y-1=A(y+1).
Desenvolvendo:
y-1=Ay+A \quad\Rightarrow\quad y-Ay = A+1 \quad\Rightarrow\quad y(1-A)=A+1.
Portanto, quando 1-A\neq0,
y=\frac{A+1}{1-A}.
Substituindo A=K\frac{x-1}{x+1} e multiplicando numerador e denominador por x+1 para simplificar:
y=\frac{K(x-1)+(x+1)}{(x+1)-K(x-1)}.
Agrupando termos em x:
y=\frac{(K+1)x+(1-K)}{(1-K)x+(1+K)}.
Isto dá a forma explícita da família de soluções parametricamente pelo parâmetro K. Lembre-se que x\neq\pm1 e que para K tal que (1-K)x+(1+K)=0 em algum x a expressão pode ter problema local — isso apenas reflete assíntotas/intervalos de definição.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(2)=2 para determinar a constante K.
Substituindo x=2 e y=2 na expressão
2=\frac{(K+1)\cdot 2+(1-K)}{(1-K)\cdot 2+(1+K)}.
Calculemos o numerador e denominador:
\text{num}=(K+1)2+(1-K)=2K+2+1-K=K+3,
\text{den}=(1-K)2+(1+K)=2-2K+1+K=3-K.
Portanto
2=\frac{K+3}{3-K}.
Resolver:
K+3=2(3-K)=6-2K \quad\Rightarrow\quad 3K=3\quad\Rightarrow\quad K=1.

Passo 7

Interpretação do resultado K=1 e forma simplificada da solução particular:
  • Com K=1, a fórmula geral
y=\frac{(K+1)x+(1-K)}{(1-K)x+(1+K)}
torna-se
y=\frac{(1+1)x+(1-1)}{(1-1)x+(1+1)}=\frac{2x+0}{0x+2}=\frac{2x}{2}=x.
Logo a solução que satisfaz y(2)=2 é \;y(x)=x (válida onde a equação está definida, ou seja em intervalos sem x=\pm1; como a condição inicial tem x=2>1, a solução particular válida no maior intervalo contendo 2 é para x>1).
  • Relembrando também as soluções constantes achadas antes: y\equiv1 e y\equiv-1 são soluções (mas não satisfazem y(2)=2).

Resposta

Geral: \displaystyle y=\frac{(K+1)x+(1-K)}{(1-K)x+(1+K)}, com K\in\mathbb{R} constante, e soluções singulares \;y\equiv1 e \;y\equiv-1.
Particular com y(2)=2: \displaystyle y(x)=x (válida para x>1).

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