Observações óbvias extraídas do enunciado que são importantes para resolver: o denominador x^{2}-1 anula-se em x=\pm1, logo a equação não está definida nesses pontos; o numerador y^{2}-1 anula-se em y=\pm1, o que sugere possíveis soluções constantes y\equiv1 e y\equiv-1.
O que se pede: encontrar a solução geral (família de soluções) da EDO separável e, a partir dela, obter a solução que satisfaz y(2)=2.
Passo 2
Identificação e separação das variáveis (passo técnico): a equação é separável — podemos reunir os termos em y num lado e os termos em x no outro. Antes de dividir, tratar casos singulares:
Se y\equiv1 então y^{2}-1=0 e \dfrac{dy}{dx}=0, a igualdade da EDO fica 0=\dfrac{0}{x^{2}-1}, verdadeira para x\neq\pm1. Logo y\equiv1 é solução (em intervalos onde x\neq\pm1).
Analogamente, y\equiv-1 é solução.
Agora suponha que a solução não seja constante \pm1. Podemos dividir por y^{2}-1 e por x^{2}-1 (em regiões onde esses não são zero) e separar:
\frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.
Passo 3
Integração dos dois lados: vamos integrar cada lado. Primeiro lembrinha didática sobre uma integral padrão:
Técnica útil: fatorar (u^{2}-1)=(u-1)(u+1) e usar frações parciais para integrar \dfrac{1}{u^{2}-1}.
Substituindo A=K\frac{x-1}{x+1} e multiplicando numerador e denominador por x+1 para simplificar:
y=\frac{K(x-1)+(x+1)}{(x+1)-K(x-1)}.
Agrupando termos em x:
y=\frac{(K+1)x+(1-K)}{(1-K)x+(1+K)}.
Isto dá a forma explícita da família de soluções parametricamente pelo parâmetro K. Lembre-se que x\neq\pm1 e que para K tal que (1-K)x+(1+K)=0 em algum x a expressão pode ter problema local — isso apenas reflete assíntotas/intervalos de definição.
Passo 6
Aplicando a condição inicial y(2)=2 para determinar a constante K.
Logo a solução que satisfaz y(2)=2 é \;y(x)=x (válida onde a equação está definida, ou seja em intervalos sem x=\pm1; como a condição inicial tem x=2>1, a solução particular válida no maior intervalo contendo 2 é para x>1).
Relembrando também as soluções constantes achadas antes: y\equiv1 e y\equiv-1 são soluções (mas não satisfazem y(2)=2).
Resposta
Geral: \displaystyle y=\frac{(K+1)x+(1-K)}{(1-K)x+(1+K)}, com K\in\mathbb{R} constante, e soluções singulares \;y\equiv1 e \;y\equiv-1.
Particular com y(2)=2: \displaystyle y(x)=x (válida para x>1).