Determine a solução geral das edos de variáveis separáveis:
(1+y) x-(1+x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+y),x ;-;(1+x),dydx=0
e pede a solução geral. Como a função pode ser escrita isolando dydx em termos de x e y, trata-se de uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Isolamos dydx. Da equação
(1+y),x ;-;(1+x),dydx=0
temos
(1+x),dydx=x,(1+y) Longrightarrow dydx=x,(1+y)1+x

Passo 3

Separamos as variáveis y e x:
dy1+y = x1+x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo
integral dy1+y =lnl|1+yr|
Do lado direito, escrevemos
x1+x =1-11+x,
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integral x1+x,dx =integral!l(1-11+xr),dx =x-lnl|1+xr|
Portanto
lnl|1+yr| = x-lnl|1+xr|+C

Passo 5

Reorganizando e exponenciando, obtemos
lnl|(1+y)(1+x)r| =x+C Longrightarrow (1+x)(1+y)=K,e^x,
onde K=e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
(1+x)(1+y)=C,e^x,
ou equivalentemente
y=C,e^x1+x-1,
com C constante.

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