Mostre que as soluções não triviais
das seguintes equações
são tais que
O que se pode dizer do comportamento das soluções não triviais de
quando
?
são tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas equações diferenciais de segunda ordem e quer entender como as soluções delas se comportam quando $ t $ vai para mais ou menos infinito. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, características das soluções baseadas nas raízes da equação característica, e entender como o tipo de raiz (real ou complexa) afeta o comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira equação:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica.
Passo 3
A equação característica para uma equação do tipo $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é:
No nosso caso, $ a = 6 $, $ b = -7 $, e $ c = 2 $. Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Passo 5
Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando $ t $ vai para mais e menos infinito.
Para $ t \to \infty $:
Ambos os termos $ e^{\frac{2}{3} t} $ e $ e^{\frac{1}{2} t} $ crescem exponencialmente, pois os expoentes são positivos. Dependendo dos valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução pode ir para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Para $ t \to -\infty $:
Os termos $ e^{\frac{2}{3} t} $ e $ e^{\frac{1}{2} t} $ tendem a zero, já que os expoentes negativos fazem com que as exponenciais diminuam para zero.
Passo 7
Portanto, para a primeira equação diferencial:
Isso mostra que as soluções não triviais se comportam exatamente como descrito no enunciado.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda equação:
Novamente, vamos encontrar a equação característica.
Passo 9
A equação característica é:
Resolvendo com Bhaskara:
Aqui, temos raízes complexas conjugadas: $ r = 1 + 2i $ e $ r = 1 - 2i $.
Passo 10
Quando as raízes são complexas, a solução geral é dada por:
Onde $ \alpha $ é a parte real e $ \beta $ é a parte imaginária das raízes. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $, então:
Passo 11
Vamos analisar o comportamento dessa solução quando $ t $ vai para mais e menos infinito.
Para $ t \to \infty $:
O termo $ e^{t} $ cresce exponencialmente, enquanto $ \cos(2t) $ e $ \sin(2t) $ oscilam entre -1 e 1. Mesmo com as oscilações, o fator exponencial domina, fazendo com que $ y(t) $ cresça para $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t \to -\infty $:
O termo $ e^{t} $ tende a zero, pois para valores negativos grandes de $ t $, a exponencial diminui. Mesmo com as oscilações trigonométricas, o produto tende a zero.
Passo 12
Então, para a segunda equação diferencial:
Assim como na primeira equação, as soluções não triviais tendem a zero quando $ t $ vai para menos infinito e crescem indefinidamente em magnitude quando $ t $ vai para mais infinito.
Resposta
As soluções não triviais das equações dadas tendem a zero quando $ t $ vai para menos infinito e crescem para $ \pm \infty $ quando $ t $ vai para mais infinito.