Mostre que as soluções não triviais y(t) das seguintes equações
6 y^prime prime-7 y^prime+2 y=0
são tais que
lim t -infty y(t)=0 e lim t infty y(t)= pm infty
O que se pode dizer do comportamento das soluções não triviais de y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 quando t pm infty ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas equações diferenciais de segunda ordem e quer entender como as soluções delas se comportam quando $ t $ vai para mais ou menos infinito. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, características das soluções baseadas nas raízes da equação característica, e entender como o tipo de raiz (real ou complexa) afeta o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira equação:
6 y'' - 7 y' + 2 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica.

Passo 3

A equação característica para uma equação do tipo $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é:
a y'' + b y' + c y = 0
No nosso caso, $ a = 6 $, $ b = -7 $, e $ c = 2 $. Então:
a r^2 + b r + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas raízes reais distintas:
r = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 6 cdot 22 cdot 6 = 7 pm raiz49 - 4812 = 7 pm 112
r1 = 7 + 112 = 812 = 23

Passo 5

Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^23 t + C2 e^12 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento dessa solução quando $ t $ vai para mais e menos infinito.
Para $ t \to \infty $:
Ambos os termos $ e^{\frac{2}{3} t} $ e $ e^{\frac{1}{2} t} $ crescem exponencialmente, pois os expoentes são positivos. Dependendo dos valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução pode ir para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Para $ t \to -\infty $:
Os termos $ e^{\frac{2}{3} t} $ e $ e^{\frac{1}{2} t} $ tendem a zero, já que os expoentes negativos fazem com que as exponenciais diminuam para zero.

Passo 7

Portanto, para a primeira equação diferencial:
limt to -infty y(t) = 0
limt to infty y(t) = pm infty
Isso mostra que as soluções não triviais se comportam exatamente como descrito no enunciado.

Passo 8

Agora, vamos para a segunda equação:
y'' - 2 y' + 5 y = 0
Novamente, vamos encontrar a equação característica.

Passo 9

A equação característica é:
r^2 - 2 r + 5 = 0
Resolvendo com Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i
Aqui, temos raízes complexas conjugadas: $ r = 1 + 2i $ e $ r = 1 - 2i $.

Passo 10

Quando as raízes são complexas, a solução geral é dada por:
y(t) = e^alpha t (C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t))
Onde $ \alpha $ é a parte real e $ \beta $ é a parte imaginária das raízes. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $, então:
alpha

Passo 11

Vamos analisar o comportamento dessa solução quando $ t $ vai para mais e menos infinito.
Para $ t \to \infty $:
O termo $ e^{t} $ cresce exponencialmente, enquanto $ \cos(2t) $ e $ \sin(2t) $ oscilam entre -1 e 1. Mesmo com as oscilações, o fator exponencial domina, fazendo com que $ y(t) $ cresça para $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t \to -\infty $:
O termo $ e^{t} $ tende a zero, pois para valores negativos grandes de $ t $, a exponencial diminui. Mesmo com as oscilações trigonométricas, o produto tende a zero.

Passo 12

Então, para a segunda equação diferencial:
limt to -infty y(t) = 0
limt to infty y(t) = pm infty
Assim como na primeira equação, as soluções não triviais tendem a zero quando $ t $ vai para menos infinito e crescem indefinidamente em magnitude quando $ t $ vai para mais infinito.

Resposta

As soluções não triviais das equações dadas tendem a zero quando $ t $ vai para menos infinito e crescem para $ \pm \infty $ quando $ t $ vai para mais infinito.

Exercícios relacionados