Uma massa de 2 libras distende uma mola em 12 pé. Em t=0, a massa é solta de um ponto 23 pé abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 43 pés/s para cima. Determine a equação do movimento livre (use g=32 pés / s^2 ). Determine o período e a frequência e represente a solução na forma alternativa.

Passo 1

O enunciado trata de uma massa de 2 libras presa a uma mola que se estica 1/2 pé em repouso. Em t=0 a massa é liberada de 2/3 pé abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade inicial de 4/3 pés/s para cima. O conteúdo envolve modelagem por uma equação diferencial de oscilador harmônico livre m x'' + k x = 0 e uso de condições iniciais para obter a solução.

Passo 2

Primeiro encontramos a constante da mola k e a massa m. Como uma força de 2 lb produz alongamento de 1/2 pé,
k = FDe<a x = 21/2 = 4 lb/ft
A massa em unidades SLUG é
m = pesog = 232 = 116 slug

Passo 3

Escolhendo o eixo x positivo para cima medido a partir do equilíbrio, a equação do movimento livre é
m,x'' + k,x = 0
ou seja
116x'' + 4x = 0 Longrightarrow x'' + 64x = 0
Daí omega^2 = 64, logo omega = 8 rad/s.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = Acos(8t) + Bsin(8t)
As condições iniciais são x(0) = -tfrac23 (abaixo do equilíbrio) e x'(0) = +tfrac43 (para cima).

Passo 5

Calculamos A e B:
x(0)=A=-tfrac23, x'(t)=-8Asin(8t)+8Bcos(8t) ;Longrightarrow; x'(0)=8B=tfrac43 ;Longrightarrow; B=tfrac16
Portanto
x(t) = -tfrac23cos(8t) + tfrac16sin(8t)

Passo 6

O período T e a frequência f são
T = 2piomega = 2pi8 = pi4 s, f = 1T = 4pi Hz

Passo 7

Para a forma alternativa em cosseno defina
R = raizA^2 + B^2 = raiz49 + 136 = raiz176,
e escolha phi tal que
cosphi = AR = -2/3raiz17/6 = -4raiz17, sinphi = BR = 1/6raiz17/6 = 1raiz17,
o que dá phi = pi - arctan!l(tfrac14r). Assim
x(t) = raiz176,cosl(8t - phir)

Resposta

A equação do movimento é
x(t) = -tfrac23cos(8t) + tfrac16sin(8t),
o período vale T = tfracpi4 s, a frequência vale f = tfrac4pi Hz, e na forma alternativa
x(t) = raiz176,cos!l(8t - l[pi - arctan(tfrac14)r]r)

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