Uma massa de 2 libras distende uma mola em
pé. Em
, a massa é solta de um ponto
pé abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de
pés/s para cima. Determine a equação do movimento livre (use
pés
). Determine o período e a frequência e represente a solução na forma alternativa.
Passo 1
O enunciado trata de uma massa de
libras presa a uma mola que se estica
pé em repouso. Em
a massa é liberada de
pé abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade inicial de
pés/s para cima. O conteúdo envolve modelagem por uma equação diferencial de oscilador harmônico livre
e uso de condições iniciais para obter a solução.
Passo 2
Primeiro encontramos a constante da mola
e a massa
. Como uma força de
lb produz alongamento de
pé,
A massa em unidades SLUG é
Passo 3
Escolhendo o eixo
positivo para cima medido a partir do equilíbrio, a equação do movimento livre é
ou seja
Daí
, logo
rad/s.
Passo 4
A solução geral é
As condições iniciais são
(abaixo do equilíbrio) e
(para cima).
Passo 5
Calculamos
e
:
Portanto
Passo 6
O período
e a frequência
são
Passo 7
Para a forma alternativa em cosseno defina
e escolha
tal que
o que dá
. Assim
Resposta
A equação do movimento é
o período vale
s, a frequência vale
Hz, e na forma alternativa