Determine a solução geral para a equação x^prime prime-4 x=e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
x'' - 4x = e^2t
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes. Vamos usar dois passos: achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular via método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
x'' - 4x = 0
Assumimos solução do tipo xh = e^rt, o que leva à equação característica
r^2 -4 =0 Longrightarrow r=pm2
Logo a solução geral homogênea é
xh = C1 e^2t + C2 e^-2t

Passo 3

Para achar uma solução particular de
x'' - 4x = e^2t,
vemos que e^2t é solução da homogênea, então tentamos
xp = A,t,e^2t
Calculamos as derivadas:
xp' = A e^2t + 2A t e^2t, xp'' = 4A e^2t + 4A t e^2t
Substituindo em x'' - 4x obtém-se
xp'' - 4xp = (4A e^2t + 4A t e^2t) - 4(A t e^2t) = 4A e^2t
Igualando a e^2t
4A e^2t = e^2t Longrightarrow A = tfrac14
Portanto
xp = tfrac14,t,e^2t

Passo 4

Somando homogênea e particular, a solução geral é
x(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t + tfrac14,t,e^2t

Resposta

x(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t + tfrac14,t,e^2t

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