Resumindo, queremos achar a solução geral da EDO linear de segunda ordem não-homogênea
\ddot{x}+4\dot{x}+5x = 2e^{2t}-\cos(3t).
O conteúdo é “equação linear com coeficientes constantes”. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular para cada termo do segundo membro.
Passo 2
A homogênea associada é
\ddot{x}+4\dot{x}+5x=0.
Escrevendo o polinômio característico, temos
r^2+4r+5=0.
As raízes são
r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = -2\pm i.
Logo, a solução geral da homogênea é
x_h(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular x_{p1}(t) para o termo 2e^{2t}. Como e^{2t} não é solução da homogênea, assumimos
Substituindo em \ddot x+4\dot x+5x e juntando termos em \cos(3t) e \sin(3t):
coeficiente de \cos(3t): -9a + 4\cdot3b +5a = -4a+12b,
coeficiente de \sin(3t): -9b +4\cdot(-3a)+5b = -4b-12a.
Queremos