Determine a solução geral da equação
\ddot{x}+4 \dot{x}+5 x=2 e^{2 x}-\cos (3 x)

Passo 1

Resumindo, queremos achar a solução geral da EDO linear de segunda ordem não-homogênea
\ddot{x}+4\dot{x}+5x = 2e^{2t}-\cos(3t).
O conteúdo é “equação linear com coeficientes constantes”. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular para cada termo do segundo membro.

Passo 2

A homogênea associada é
\ddot{x}+4\dot{x}+5x=0.
Escrevendo o polinômio característico, temos
r^2+4r+5=0.
As raízes são
r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = -2\pm i.
Logo, a solução geral da homogênea é
x_h(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_{p1}(t) para o termo 2e^{2t}. Como e^{2t} não é solução da homogênea, assumimos
x_{p1}(t) = A\,e^{2t}.
Derivando e substituindo em \ddot{x}+4\dot{x}+5x:
\ddot{x}_{p1}=4A\,e^{2t},\quad \dot{x}_{p1}=2A\,e^{2t},
\ddot{x}_{p1}+4\dot{x}_{p1}+5x_{p1} =4A\,e^{2t}+4\cdot2A\,e^{2t}+5A\,e^{2t} =(4+8+5)A\,e^{2t} =17A\,e^{2t}.
Queremos que isso seja 2e^{2t}, logo
17A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{2}{17}.
Assim
x_{p1}(t) = \frac{2}{17}e^{2t}.

Passo 4

Agora achamos uma solução particular x_{p2}(t)\) para o termo \(-\cos(3t)\). Assumimos forma \[x_{p2}(t) = a\cos(3t) + b\sin(3t).
Derivando:
\dot x_{p2} = -3a\sin(3t) + 3b\cos(3t), \quad \ddot x_{p2} = -9a\cos(3t) -9b\sin(3t).
Substituindo em \ddot x+4\dot x+5x e juntando termos em \cos(3t) e \sin(3t):
coeficiente de \cos(3t): -9a + 4\cdot3b +5a = -4a+12b,
coeficiente de \sin(3t): -9b +4\cdot(-3a)+5b = -4b-12a.
Queremos
(-4a+12b)\cos(3t) +(-4b-12a)\sin(3t) = -1\cdot\cos(3t) +0\cdot\sin(3t).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -4a +12b = -1,\\\\ -12a -4b = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 3a+b=0\], ou seja \(b=-3a. Substituindo na primeira:
-4a +12(-3a) = -1 \quad\Longrightarrow\quad -4a -36a=-1 \quad\Longrightarrow\quad -40a=-1 \quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac{1}{40},
portanto b=-\tfrac{3}{40}. Logo
x_{p2}(t) = \frac{1}{40}\cos(3t) - \frac{3}{40}\sin(3t).

Passo 5

A solução particular completa é
x_p(t) = x_{p1}(t) + x_{p2}(t) = \frac{2}{17}e^{2t} + \frac{1}{40}\cos(3t) - \frac{3}{40}\sin(3t).
Somando com a homogênea, obtemos a solução geral:

Resposta

x(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) + \frac{2}{17}e^{2t} + \frac{1}{40}\cos(3t) - \frac{3}{40}\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

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