1. Determine uma solução geral para a equação diferencial
y^(4)-8 y^(3)+16 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 8y^(3) + 16y'' = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO num polinômio em r.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y^(k) por r^k:
r^4 - 8r^3 + 16r^2 = 0
Fatorando, temos
r^2,(r^2 - 8r + 16) = 0,
logo as raízes são
r=0(mu<iplicidade 2), r=4(mu<iplicidade 2)

Passo 3

Para cada raiz real de multiplicidade m geramos m soluções independentes do tipo e^rx,,x e^rx,,x^2 e^rx,dots.
Aqui, para r=0 (mult. 2) obtemos as soluções fundamentais
;e^0x=1 e ;x e^0x=x.
Para r=4 (mult. 2) obtemos
;e^4x e ;x e^4x.
Portanto, a solução geral é combinação linear dessas quatro.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,e^4x + C4,x,e^4x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados