Verifique que e são soluções linearmente independentes da equação , mas que é igual a zero em . Por que isso não contradiz o Teorema de Wronskianos de Soluções?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e afirma que
são soluções linearmente independentes. Em seguida, nota-se que o Wronskiano
vale zero em x=0. Precisamos verificar tudo isso e explicar por que não há contradição com o Teorema do Wronskiano.
Passo 2
Verificamos que y1(x)=x é solução. Calculamos
y1'=1, y1''=0
e substituímos na equação:
x^2cdot0-2xcdot1+2cdot x=-2x+2x=0
Logo y1 satisfaz a equação. De modo análogo, para y2(x)=x^2 temos
Portanto W(x) = x^2, que é não nulo para x neq 0 (mostrando independência linear em qualquer intervalo que não contenha 0), mas W(0) = 0.
Passo 4
O Teorema do Wronskiano diz que se a equação
y''+p(x)y'+q(x)y=0
tiver p e q contínuas num intervalo aberto I, então o Wronskiano de quaisquer duas soluções é ou sempre zero ou nunca zero em I. No nosso caso a equação original pode ser escrita como
y'' - 2xy' + 2x^2y=0,
e aí vemos que os coeficientes -2/x e 2/x^2 são singulares em x=0; não são contínuos num intervalo que contenha 0. Logo o ponto x=0 é ponto singular da EDO, e as hipóteses do Teorema do Wronskiano não valem em torno de 0.
Resposta
Não há contradição porque o Teorema do Wronskiano exige coeficientes contínuos num intervalo contendo o ponto em questão; aqui x=0 é ponto singular da equação, de modo que as condições do teorema não se aplicam em x=0.