1. Verifique que y1=x e y2=x^2 são soluções linearmente independentes da equação x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0, mas que W(x, x^2) é igual a zero em x=0. Por que isso não contradiz o Teorema de Wronskianos de Soluções?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
x^2y''-2x,y'+2y=0
e afirma que
y1(x)=x, y2(x)=x^2
são soluções linearmente independentes. Em seguida, nota-se que o Wronskiano
W(x)=Wl(y1,y2r)= y1 & y2 y1' & y2'
vale zero em x=0. Precisamos verificar tudo isso e explicar por que não há contradição com o Teorema do Wronskiano.

Passo 2

Verificamos que y1(x)=x é solução. Calculamos
y1'=1, y1''=0
e substituímos na equação:
x^2cdot0-2xcdot1+2cdot x=-2x+2x=0
Logo y1 satisfaz a equação. De modo análogo, para y2(x)=x^2 temos
y2'=2x, y2''=2
e
x^2cdot2-2xcdot(2x)+2cdot x^2=2x^2-4x^2+2x^2=0,
logo y2 também é solução.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano:
W(x)= x & x^2 1 & 2x = x cdot 2x - x^2 cdot 1 = 2x^2 - x^2 = x^2
Portanto W(x) = x^2, que é não nulo para x neq 0 (mostrando independência linear em qualquer intervalo que não contenha 0), mas W(0) = 0.

Passo 4

O Teorema do Wronskiano diz que se a equação
y''+p(x)y'+q(x)y=0
tiver p e q contínuas num intervalo aberto I, então o Wronskiano de quaisquer duas soluções é ou sempre zero ou nunca zero em I. No nosso caso a equação original pode ser escrita como
y'' - 2xy' + 2x^2y=0,
e aí vemos que os coeficientes -2/x e 2/x^2 são singulares em x=0; não são contínuos num intervalo que contenha 0. Logo o ponto x=0 é ponto singular da EDO, e as hipóteses do Teorema do Wronskiano não valem em torno de 0.

Resposta

Não há contradição porque o Teorema do Wronskiano exige coeficientes contínuos num intervalo contendo o ponto em questão; aqui x=0 é ponto singular da equação, de modo que as condições do teorema não se aplicam em x=0.

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