1. Sejam f(x)=5, g(x)=2-3 x^2 e h(x)=10+15 x^2. Mostre diretamente que as funções dadas são linearmente dependentes na reta real. Isto é, encontre uma combinação linear não-trivial das funções dadas que se anula identicamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(x)=5, g(x)=2-3x^2, h(x)=10+15x^2
são linearmente dependentes em R. Isso significa encontrar escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x)=0
para todo xinR.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x) = acdot 5 ;+; bl(2-3x^2r);+;cl(10+15x^2r)
Essa expressão é um polinômio em x que só contém termo constante e termo em x^2. Vamos separar esses coeficientes.

Passo 3

Reagrupando os termos constantes e os de x^2, obtemos
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x) = l(5a + 2b + 10cr) + l(-3b + 15cr),x^2
Para que isso seja zero para todo x, os coeficientes devem satisfazer o sistema
5a + 2b + 10c = 0, -3b + 15c = 0

Passo 4

Da segunda equação -3b + 15c=0 segue
b = 5c
Substituindo em 5a + 2b +10c=0
5a + 2(5c) + 10c = 5a + 20c = 0 Longrightarrow a = -4c
Escolhendo, por exemplo, c=1 (não nulo), obtemos
a = -4, b = 5, c = 1
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-4,f(x) ;+; 5,g(x) ;+; 1,h(x) ;=; 0 para todo x

Resposta

Uma combinação linear não trivial que se anula identicamente é
-4,f(x) + 5,g(x) + h(x) = 0

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