Determine a solução geral da equação diferencial:
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência de segunda ordem não-homogênea
e pede a solução geral
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- É uma equação por diferenças linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo composto por uma constante
e uma exponencial . - Não foram dadas condições iniciais, então devemos apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.
- A estratégia padrão é: achar a solução geral da equação homogênea associada e somar uma solução particular da parte não-homogênea.
Passo 2
Encontrando a solução da equação homogênea associada.
Primeiro escrevemos a homogênea:
Primeiro escrevemos a homogênea:
Método (explicação didática): procuramos uma solução da forma
. Isso transforma a recorrência em uma equação para
:
Como
em geral, precisamos resolver a equação característica
Resolvendo a quadrática (fatorando):
logo as raízes são
e
, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaríamos com condições iniciais).
Passo 3
Procurando uma solução particular
da equação completa.
Explicação do método de coeficientes indeterminados: o termo não-homogêneo é soma de funções simples (constante e exponencial ). Pela linearidade, podemos procurar
como soma das particulares correspondentes a cada parte:
Explicação do método de coeficientes indeterminados: o termo não-homogêneo é soma de funções simples (constante e exponencial
onde
tenta anular a parte constante
e
tenta anular a parte
. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: se
(ou
) fosse raiz da equação característica, precisaríamos multiplicar por potências de
. Aqui as raízes da característica são
e
, diferentes de
e
, então a tentativa
é adequada.
Passo 4
Determinar
(parte constante).
Substituímos na recorrência:
Substituímos
Calcule passo a passo:
. Então
Passo 5
Determinar
(parte
).
Substituímos na recorrência. Note que
Substituímos
Logo a parte esquerda fica
Calcule o parêntese:
. Portanto a expressão é
. Igualando ao termo correspondente do lado direito
, temos
Passo 6
Escrevendo a solução particular completa e a solução geral.
A solução particular encontrada é
A solução particular encontrada é
Pela teoria das equações lineares, a solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais (se fornecidas). Você pode verificar substituindo essa expressão na recorrência: os termos com
e
satisfazem a homogênea (cancelam-se), e os termos constantes e em
produzem exatamente
.