Determine a solução geral da equação diferencial:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=1+3 \cdot 4^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de segunda ordem não-homogênea
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=1+3\cdot 4^{n},
e pede a solução geral x_n.
Informações relevantes que temos:
  1. É uma equação por diferenças linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo composto por uma constante 1 e uma exponencial 3\cdot 4^{n}.
  2. Não foram dadas condições iniciais, então devemos apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.
  3. A estratégia padrão é: achar a solução geral da equação homogênea associada e somar uma solução particular da parte não-homogênea.

Passo 2

Encontrando a solução da equação homogênea associada.
Primeiro escrevemos a homogênea:
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0.
Método (explicação didática): procuramos uma solução da forma x_n=r^n. Isso transforma a recorrência em uma equação para r:
r^{n+2}-5r^{n+1}+6r^n=0 \quad\Longrightarrow\quad r^n\big(r^2-5r+6\big)=0.
Como r^n\neq 0 em geral, precisamos resolver a equação característica
r^2-5r+6=0.
Resolvendo a quadrática (fatorando):
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=2 e r=3, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das potências:
x_n^{(h)}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias (determinaríamos com condições iniciais).

Passo 3

Procurando uma solução particular x_n^{(p)} da equação completa.
Explicação do método de coeficientes indeterminados: o termo não-homogêneo é soma de funções simples (constante e exponencial 4^n). Pela linearidade, podemos procurar x_n^{(p)} como soma das particulares correspondentes a cada parte:
x_n^{(p)} = C + D\cdot 4^{n},
onde C tenta anular a parte constante 1 e D\cdot 4^n tenta anular a parte 3\cdot4^n. Antes de usar essa forma, verificamos ressonância: se 1 (ou 4) fosse raiz da equação característica, precisaríamos multiplicar por potências de n. Aqui as raízes da característica são 2 e 3, diferentes de 1 e 4, então a tentativa C + D 4^n é adequada.

Passo 4

Determinar C (parte constante).
Substituímos x_n=C na recorrência:
C -5C +6C = 1.
Calcule passo a passo: C-5C+6C = (1-5+6)C = 2C. Então
2C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Determinar D (parte 4^{n}).
Substituímos x_n=D\cdot 4^{n} na recorrência. Note que
x_{n+2}=D\cdot 4^{n+2}=D\cdot 4^{n}\cdot 4^{2},\qquad x_{n+1}=D\cdot 4^{n+1}=D\cdot 4^{n}\cdot 4.
Logo a parte esquerda fica
D\cdot 4^{n}\big(4^{2}-5\cdot 4+6\big).
Calcule o parêntese: 4^{2}-5\cdot4+6=16-20+6=2. Portanto a expressão é 2D\cdot 4^{n}. Igualando ao termo correspondente do lado direito 3\cdot 4^{n}, temos
2D\cdot 4^{n}=3\cdot 4^{n}\quad\Longrightarrow\quad 2D=3 \quad\Longrightarrow\quad D=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Escrevendo a solução particular completa e a solução geral.
A solução particular encontrada é
x_n^{(p)}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 4^{n}.
Pela teoria das equações lineares, a solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\cdot 4^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais (se fornecidas). Você pode verificar substituindo essa expressão na recorrência: os termos com 2^{n} e 3^{n} satisfazem a homogênea (cancelam-se), e os termos constantes e em 4^{n} produzem exatamente 1+3\cdot4^{n}.

Resposta

x_n = A\cdot 2^{n} + B\cdot 3^{n} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\cdot 4^{n}

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