Determine a solução geral da equação diferencial:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=0.

Passo 1

O enunciado pede para “determinar a solução geral” da sequência definida pela recorrência linear homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=0.
Informações dadas:
  • Temos uma relação entre termos consecutivos da sequência \{x_n\}.
  • A recorrência é linear, homogênea e de coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais (como x_0 ou x_1), portanto a solução geral deve conter constantes arbitrárias que serão fixadas apenas se houver condições iniciais.

Passo 2

Ideia básica (tentativa): procurar soluções do tipo exponencial \;x_n=r^n\;, porque quando substituímos uma potência em recorrências lineares com coeficientes constantes as potências se simplificam e geram um polinômio em r. Vou explicar por que isso funciona.
Se supomos \;x_n=r^n\; para algum número r, então os termos deslocados são \;x_{n+1}=r^{n+1}=r\cdot r^n\; e \;x_{n+2}=r^{n+2}=r^2\cdot r^n\;. Substituindo na recorrência obtemos um fator comum r^n que pode ser cancelado (desde que r\neq0 — o caso r=0 é tratado naturalmente pela equação), levando a uma equação apenas em r. Isso transforma o problema de recorrência num problema algébrico (o chamado polinômio característico).

Passo 3

Substituindo \;x_n=r^n\; na recorrência:
r^{n+2}-5r^{n+1}+6r^{n}=0.
Fatorando r^n (que não é zero para termos da forma r^n com r\neq0):
r^n\bigl(r^2-5r+6\bigr)=0.
Como queremos soluções não triviais, consideramos a equação polinomial (característica)
\boxed{r^2-5r+6=0.}

Passo 4

Resolver a equação quadrática \;r^2-5r+6=0\;. Podemos fatorar:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3).
Logo as raízes são
\boxed{r=2\quad\text{e}\quad r=3.}

Passo 5

Como as raízes do polinômio característico são duas raízes reais distintas ( 2 e 3), a teoria das recorrências lineares nos diz que a combinação linear dos correspondentes r^n gera a solução geral. Ou seja, se r_1 e r_2 são raízes distintas, então
x_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n
é a solução geral, onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (dependendo das condições iniciais). Vou justificar brevemente: a recorrência é linear homogênea, então qualquer combinação linear de soluções também é solução (princípio da superposição). E r_1^n e r_2^n são soluções independentes quando as raízes são distintas, por isso geram o espaço das soluções de dimensão 2.
Aplicando isso ao nosso caso com r_1=2 e r_2=3, obtemos
\boxed{x_n = C_1 2^n + C_2 3^n,}
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas por x_0 e x_1, caso esses valores sejam dados.

Passo 6

Verificação rápida: vamos checar que qualquer sequência da forma \;x_n = C_1 2^n + C_2 3^n\; satisfaz a recorrência. Calculamos:
x_{n+1}=C_1 2^{n+1}+C_2 3^{n+1},\qquad x_{n+2}=C_1 2^{n+2}+C_2 3^{n+2}.
Substituindo na recorrência:
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n
= C_1\bigl(2^{n+2}-5\cdot 2^{n+1}+6\cdot 2^n\bigr) + C_2\bigl(3^{n+2}-5\cdot 3^{n+1}+6\cdot 3^n\bigr).
Fatorando 2^n e 3^n:
= C_1 2^n\bigl(2^2-5\cdot 2+6\bigr) + C_2 3^n\bigl(3^2-5\cdot 3+6\bigr).
Cada parêntese é zero porque 2 e 3 são raízes do polinômio característico. Então a expressão vale 0, logo a fórmula satisfaz a recorrência, como esperado.

Passo 7

Como complemento prático: se você tiver condições iniciais, por exemplo x_0\) e \(x_1\), dá para achar \(C_1\) e \(C_2\) resolvendo o sistema linear \[\begin{cases} x_0 = C_1 2^0 + C_2 3^0 = C_1 + C_2,\\[6pt] x_1 = C_1 2^1 + C_2 3^1 = 2C_1 + 3C_2. \end{cases}
Esse é um sistema 2×2 simples que se resolve por substituição ou regra de Cramer. Exemplo rápido: se x_0=5\] e \[x_1=13, então
\begin{cases} C_1 + C_2 = 5,\\\\ 2C_1 + 3C_2 = 13. \end{cases}
Subtraindo duas vezes a primeira da segunda: (2C_1+3C_2)-2(C_1+C_2)=13-10\] dá \(C_2=3. Então C_1=5-3=2. Fica x_n=2\cdot 2^n + 3\cdot 3^n — só um exemplo para fixar a ideia.]

Resposta

x_n = C_1 2^n + C_2 3^n
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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