Determine a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-10 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
4y''-4y'-10y=0
e pede: determinar a solução geral dessa equação.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) ordem: }2,\qquad \text{(ii) coeficientes constantes: }4,\,-4,\,-10,\qquad \text{(iii) equação homogênea (termo independente zero).}çãê

Passo 2

Vamos usar a ideia básica que funciona muito bem aqui: tentar uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde \,r, é uma constante (ainda desconhecida). Explico por que: derivando essa função aparecem fatores de r que transformam a equação diferencial numa equação algébrica para r, o que é mais fácil de resolver. Calculemos as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2}e^{rx}.
Substituindo na equação original obtemos
4(r^{2}e^{rx})-4(r e^{rx})-10(e^{rx})=0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), sobra a equação característica (algébrica)
4r^{2}-4r-10=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
4r^{2}-4r-10=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 4\cdot(-10)=16+160=176.
A raiz quadrada de 176 simplifica porque 176=16\cdot 11, então
\sqrt{\Delta}=\sqrt{176}=4\sqrt{11}.
Aplicando a fórmula das raízes:
r=\frac{4\pm 4\sqrt{11}}{2\cdot 4}=\frac{4\pm 4\sqrt{11}}{8}.
Fatorando 4 no numerador e simplificando:
r=\frac{4(1\pm\sqrt{11})}{8}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}.
Portanto obtemos duas raízes reais e distintas:
r_{1}=\frac{1+\sqrt{11}}{2},\qquad r_{2}=\frac{1-\sqrt{11}}{2}.

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Ou seja,
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam a partir de condições iniciais, se existissem). Substituindo os valores de r_{1} e r_{2} que achamos,
y(x)=C_{1}\,e^{\frac{1+\sqrt{11}}{2}x}+C_{2}\,e^{\frac{1-\sqrt{11}}{2}x}.

Passo 5

Rápida verificação e intuição: se substituirmos y=e^{r_{1}x} na equação diferencial, ao fatorar e^{r_{1}x} sobra exatamente 4r_{1}^{2}-4r_{1}-10, que é zero porque r_{1} é raiz da característica. O mesmo vale para r_{2}. Pela linearidade da equação, qualquer combinação linear dessas duas soluções também é solução — daí a forma geral acima. Vai dar certo na prova e você já tem a receita!

Resposta

y(x)=C_{1}e^{\frac{1+\sqrt{11}}{2}x}+C_{2}e^{\frac{1-\sqrt{11}}{2}x}

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