Determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede: determinar a solução geral dessa equação.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos usar a ideia básica que funciona muito bem aqui: tentar uma solução da forma
onde
, é uma constante (ainda desconhecida). Explico por que: derivando essa função aparecem fatores de
que transformam a equação diferencial numa equação algébrica para
, o que é mais fácil de resolver. Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação original obtemos
Fatorando
(que nunca é zero), sobra a equação característica (algébrica)
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
A raiz quadrada de
simplifica porque
, então
Aplicando a fórmula das raízes:
Fatorando
no numerador e simplificando:
Portanto obtemos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Ou seja,
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam a partir de condições iniciais, se existissem). Substituindo os valores de
e
que achamos,
Passo 5
Rápida verificação e intuição: se substituirmos
na equação diferencial, ao fatorar
sobra exatamente
, que é zero porque
é raiz da característica. O mesmo vale para
. Pela linearidade da equação, qualquer combinação linear dessas duas soluções também é solução — daí a forma geral acima. Vai dar certo na prova e você já tem a receita!