Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
com e a função . - Não foi dada nenhuma condição inicial; portanto buscamos a família de soluções com uma constante arbitrária.
- A equação é homogênea no sentido de que o lado direito é zero (não há termo independente).
Passo 2
Escolha do método: observar a equação permite escrever
Isto é um caso típico de equação diferencial separável, pois podemos colocar termos envolvendo
de um lado e termos envolvendo
do outro. Separar variáveis é o método mais simples aqui (também poderia ser resolvida por fator integrante, que daria o mesmo resultado).
Passo 3
Separação de variáveis: supondo primeiro
, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para obter
Comentário sobre
: a função
é uma solução evidente da equação original (substituindo dá
). Ao dividir por
perdemos momentaneamente essa solução, então a retomaremos depois ao escrever a solução geral.
Passo 4
Integração: integramos ambos os lados em termos das suas variáveis:
As primitivas conhecidas são
e
. Logo
onde
é uma constante de integração real.
Passo 5
Isolando
: exponentiando os dois lados vem
Escrevendo
e permitindo o sinal, obtemos
. É costume reunir
numa única constante real arbitrária
, incluindo
(que corresponde à solução nula). Portanto a família geral de soluções é
Passo 6
Verificação rápida: derivando
temos
Substituindo na equação original dá
, então a fórmula atende a equação para todo
.
Passo 7
Observações finais e domínio: a solução
está bem definida para todo
(pois
é sempre positiva e finita). A constante
reúne a solução trivial
e todas as não-triviais
. Força aí — está pronta para usar na prova!