Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
y^{\prime}+\cos (x) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y^{\prime}+\cos(x)\,y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} com y e a função \cos(x).
  • Não foi dada nenhuma condição inicial; portanto buscamos a família de soluções com uma constante arbitrária.
  • A equação é homogênea no sentido de que o lado direito é zero (não há termo independente).

Passo 2

Escolha do método: observar a equação permite escrever
\frac{dy}{dx}=-\cos(x)\,y.
Isto é um caso típico de equação diferencial separável, pois podemos colocar termos envolvendo y de um lado e termos envolvendo x do outro. Separar variáveis é o método mais simples aqui (também poderia ser resolvida por fator integrante, que daria o mesmo resultado).

Passo 3

Separação de variáveis: supondo primeiro y\neq0, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx para obter
\frac{1}{y}\,dy=-\cos(x)\,dx.
Comentário sobre y=0: a função y\equiv0 é uma solução evidente da equação original (substituindo dá 0+ \cos(x)\cdot0=0). Ao dividir por y perdemos momentaneamente essa solução, então a retomaremos depois ao escrever a solução geral.

Passo 4

Integração: integramos ambos os lados em termos das suas variáveis:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\cos(x)\,dx.
As primitivas conhecidas são \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| e \int -\cos(x)\,dx=-\sin(x). Logo
\ln|y| = -\sin(x) + C,
onde C é uma constante de integração real.

Passo 5

Isolando y: exponentiando os dois lados vem
|y| = e^{C}\,e^{-\sin(x)}.
Escrevendo A=e^{C}>0 e permitindo o sinal, obtemos y=\pm A\,e^{-\sin(x)}. É costume reunir \pm A numa única constante real arbitrária C\in\mathbb{R}, incluindo C=0 (que corresponde à solução nula). Portanto a família geral de soluções é
y(x)=C\,e^{-\sin(x)},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida: derivando y(x)=C\,e^{-\sin(x)} temos
y^{\prime}(x)=C\,e^{-\sin(x)}\cdot(-\cos(x))=-\cos(x)\,y(x).
Substituindo na equação original dá y^{\prime}+\cos(x)\,y= -\cos(x)\,y+\cos(x)\,y=0, então a fórmula atende a equação para todo C.

Passo 7

Observações finais e domínio: a solução y(x)=C\,e^{-\sin(x)} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} (pois e^{-\sin(x)} é sempre positiva e finita). A constante C reúne a solução trivial C=0 e todas as não-triviais C\neq0. Força aí — está pronta para usar na prova!

Resposta

y(x)=C\,e^{-\sin(x)},\; C\in\mathbb{R}

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